Глава 1. Треугольник Паскаля. Основы создания
1.1. Создание треугольника и основные его свойства
Треугольник Паскаля — это бесконечная таблица из чисел, которая имеет треугольную форму. Главный принцип этого треугольника состоит в том, что по его бокам находятся единицы, а каждое число внутри этого треугольника равно сумме тех двух чисел, что расположены над этим самым числом. На рисунке 1.1 покажем пример одного из треугольников Паскаля.
Рисунок 1.1.
Уточним, как обычно выглядит треугольник Паскаля:
— каждая вершина треугольника Паскаля (верхняя, нижняя левая и нижняя правая) — это единица;
— если показывать треугольник Паскаля в виде равностороннего треугольника, тогда левая боковая сторона и правая боковая сторона будут состоять из единиц;
— внутри треугольника Паскаля каждая цифра равна сумме тех двух цифр, которые находятся над этой самой цифрой — это и есть самое главное правило создания треугольника Паскаля;
— треугольник Паскаля бесконечен. Это значит, что можно его продлять вниз бесконечное число раз.
У треугольника Паскаля есть несколько интересных свойств. Например, можно добавить нумерацию строк в треугольник Паскаля, при этом начать нумерацию не с единицы, а с нуля, тогда верхняя строка будет считаться строкой номер ноль, следующая строка — строкой номер один, и так далее. Теперь можно получить одно из интересных свойств этого треугольника: сумма цифр каждой строки этого треугольника будет равна двойке в степени n, где n — это и есть номер строки (с учетом того, что верхняя строка будет иметь номер ноль). Это можно проверить, если использовать те цифры, что показаны на рисунке 1.1.
Суммы строк покажем на рисунке 1.2.
Рисунок 1.2.
Еще одно интересное свойство треугольника: если взять какое-то одно число и найти произведение всех шести чисел, что находятся вокруг этого числа, то мы получим полный квадрат (квадрат натурального числа).
На рисунке 1.3 мы покажем пример нескольких ячеек (чисел), вокруг которых образован полный квадрат.
Рисунок 1.3.
На рисунке 1.3 четко видно, что произведение всех чисел вокруг тройки — это число 144 (144=2×1×3×1×6×4). Число 144 — это 12 в квадрате.
А если перемножить 6 чисел вокруг четверки, то мы получим 900 (1×3×1×6×5×10=900). Число 900 — это квадрат числа 30.
Аналогичную ситуацию можно наблюдать для каждого числа, если в его окружении имеется ровно 6 других чисел. Произведение этих шести чисел всегда будет составлять полный квадрат.
По диагоналям треугольника Паскаля расположены разные последовательности чисел. Если начинать нумерацию диагоналей не с нуля, а с цифры 1, тогда на первой диагонали будут только единицы, на второй диагонали будут расположены все натуральные числа, на третьей диагонали находятся треугольные числа (это те числа, которые показывают, сколько касающихся кружков можно расположить в виде треугольника; например, начальная расстановка шаров в бильярде — это и есть тот самый треугольник). А на четвёртой диагонали мы уже видим тетраэдральные числа (это такие числа, которые показывают, сколько шаров может быть уложено в виде треугольной пирамиды, то есть тетраэдра). На рисунке 1.4 мы построили диагонали справа налево (если начинать с верхней части диагонали и идти вниз), однако если поменять направление, то последовательности чисел не исчезнут. Условимся, что все эти диагонали, которые начинаются на правой стороне треугольника и идут вниз и влево, будем называть «юго-западными» диагоналями, поскольку юго-запад обычно тоже находится в левом нижнем углу географической карты.
Рисунок 1.4.
Треугольник Паскаля симметричен относительно вертикальной оси. Если провести вертикальную линию в самом центре этого треугольника, то справа и слева от этой линии будут расположены одинаковые числа.
Покажем эту вертикальную ось симметрии на рисунке 1.5.
Рисунок 1.5.
Следующее интересное свойство этого треугольника: сумма чисел диагонали равна числу в следующей строке на противоположной диагонали.
Мы можем привести несколько примеров, ведь мы уже несколько раз показывали сам треугольник Паскаля.
Например, 1+2+3+4=10, а 1+4 = 5. Покажем это на рисунке 1.6.
Рисунок 1.6.
Мы здесь привели только самые интересные свойства, которые можно наблюдать у треугольника Паскаля.
Но у треугольника Паскаля есть и другие свойства, далее приведем еще несколько этих свойств.
Если из центрального числа строки с чётным порядковым номером вычесть соседнее число той же строки, то мы получим число Каталана.
Напомним первые несколько чисел Каталана:
1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 432, 1430.
На рисунке 1.7 покажем несколько первых чисел Каталана, которые можно получить непосредственно из треугольника Паскаля.
Рисунок 1.7.
Поскольку верхняя строка — это строка номер ноль, а эта строка содержит всего один элемент, да и с увеличением номера строки на единицу количество элементов в строке тоже увеличивается на единицу, то можно смело сказать следующее: все четные строки — это все те строки треугольника Паскаля, которые содержат нечетное количество элементов.
Кроме того, любое число треугольника Паскаля равно количеству вариантов, какими можно добраться от вершины треугольника до этого самого числа.
Единственное число, которое можно встретить в треугольнике Паскаля только один раз, — это число 2.
1.2. Применение треугольника Паскаля в математике
Как было уже сказано в данной книге, треугольник Паскаля можно применить для расчета чисел Каталана. Хотя для этих чисел и существуют конкретные формулы, с применением треугольника Паскаля можно поступить гораздо проще: вместо этих формул можно просто найти нужную строку треугольника Паскаля, а затем из центрального числа этой строки вычесть то число, которое находится по соседству с ним, в той же строке.
Где обычно применяют цифры Каталана?
Ответ на этот вопрос такой: для решения некоторых задач комбинаторики. Приведем несколько примеров:
Задача 1. Сколькими способами можно выпуклый n+2-угольник разрезать на треугольники непересекающимися диагоналями?
Когда число n достаточно мало, можно нарисовать все возможные варианты. Так, например, при n=0 многоугольник построить вообще нельзя, при n=1 мы строим треугольник, и для треугольника количество тех самых способов, о которых спрашивается в задаче, равно 1.
Для n=2 фигура, которая будет n+2-угольником, будет квадратом. А способов разрезать на треугольники будет всего два. В первом случае мы получим одну диагональ квадрата, во втором случае — вторую.
Покажем все варианты решения задачи для треугольника и квадрата и на рисунке 1.8.
Рисунок 1.8.
Как было показано на рисунке 1.7, единицу можно получить из строки 2 треугольника Паскаля, а двойку — из строки 4 (нумерация строк начинается с нуля).
Если пойти еще ниже по треугольнику Паскаля, то для n=3 мы получим пятиугольник (5=n+2), а количество разрезаний на треугольники будет равно 5. Это число 5 можно получить из строки 6 треугольни
