Глагол «оборзеть» не имеет ни малейшего отношения к существительному «борзописец», последнее родилось от слова «борзо». Борзописец – тот, кто быстро пишет. Так в девятнадцатом веке именовали журналистов, способных в мгновение ока написать статью.