Существует 5 математических законов, справедливых для любых чисел.
1. Переместительный закон сложения a + b = b + a, например 5 +4 = 4 +5 = 9
Выражаясь простым языком, можно сказать: от перемены мест слагаемых сумма не меняется.
2. Переместительный закон умножения a × b = b × a, например 6 × 2 = 2 × 6 = 12
Проще говоря, от перемены мест множителей произведение не меняется.
3. Сочетательный закон сложения (a + b) + c = a + (b + c), например (7 +5) +3 = 7 + (5 +3) = 15. Или, значение суммы не зависит от того как сгруппированы слагаемые.
4. Сочетательный закон умножения (а × b) × c = a × (b × c), например (3×2) ×5=3× (2×5) =30. Или, значение произведения не зависит от того как сгруппированы множители.
5. Распределительный закон умножения относительно сложения
(a + b) × c = a × c + b × c, например (5 +4) × 2 = 5 × 2 +4 × 2 = 18. То есть, чтобы сумму умножить на число, можно умножить на это число каждое из слагаемых, а затем сложить полученные произведения.
— Позвольте, — тут же заметит вдумчивый читатель. — Вы в прошлой теме утверждали, что в арифметике скобки раскрывать нельзя, а тут распределительный закон говорит о противоположном.
И тут же приведёте мне пример: 10:2 (4—2). А я рядом с вашим примером напишу такой: 10: [2 (4—2)]. Скажите, между этими примерами есть разница? Оказывается разница есть в порядке действий и соответственно в получаемом результате. Если в первом примере применить распределительный закон, то мы нарушим порядок действий. А вот во втором примере порядок действий не нарушается и мы можем применить распределительный закон. Действительно, результат не изменится, если сделать сначала действие в круглых скобках и результат умножить на 2, или умножить 2 на каждое из слагаемых в скобке, а потом вычесть из первого произведения второе. Как видите, никакого противоречия нет. Добавив квадратные скобки, мы меняем порядок действий и соответственно получаемый результат.
Нетрудно заметить, что арифметические законы позволяют упростить вычисления.
Например:
4 × 93 × 25 = 93 × (25 × 4) = 93 × 100 = 9300. Применён сочетательный закон умножения.
932 +869 +68 = 869 + (932 +68) = 869 +1000 = 1869. Применён сочетательный закон сложения.
158 × 6 +242 × 6 = (158 +242) × 6 = 400 × 6 = 2400. Применён распределительный закон умножения относительно сложения.
1. Переместительный закон сложения a + b = b + a, например 5 +4 = 4 +5 = 9
Выражаясь простым языком, можно сказать: от перемены мест слагаемых сумма не меняется.
2. Переместительный закон умножения a × b = b × a, например 6 × 2 = 2 × 6 = 12
Проще говоря, от перемены мест множителей произведение не меняется.
3. Сочетательный закон сложения (a + b) + c = a + (b + c), например (7 +5) +3 = 7 + (5 +3) = 15. Или, значение суммы не зависит от того как сгруппированы слагаемые.
4. Сочетательный закон умножения (а × b) × c = a × (b × c), например (3×2) ×5=3× (2×5) =30. Или, значение произведения не зависит от того как сгруппированы множители.
5. Распределительный закон умножения относительно сложения
(a + b) × c = a × c + b × c, например (5 +4) × 2 = 5 × 2 +4 × 2 = 18. То есть, чтобы сумму умножить на число, можно умножить на это число каждое из слагаемых, а затем сложить полученные произведения.
— Позвольте, — тут же заметит вдумчивый читатель. — Вы в прошлой теме утверждали, что в арифметике скобки раскрывать нельзя, а тут распределительный закон говорит о противоположном.
И тут же приведёте мне пример: 10:2 (4—2). А я рядом с вашим примером напишу такой: 10: [2 (4—2)]. Скажите, между этими примерами есть разница? Оказывается разница есть в порядке действий и соответственно в получаемом результате. Если в первом примере применить распределительный закон, то мы нарушим порядок действий. А вот во втором примере порядок действий не нарушается и мы можем применить распределительный закон. Действительно, результат не изменится, если сделать сначала действие в круглых скобках и результат умножить на 2, или умножить 2 на каждое из слагаемых в скобке, а потом вычесть из первого произведения второе. Как видите, никакого противоречия нет. Добавив квадратные скобки, мы меняем порядок действий и соответственно получаемый результат.
Нетрудно заметить, что арифметические законы позволяют упростить вычисления.
Например:
4 × 93 × 25 = 93 × (25 × 4) = 93 × 100 = 9300. Применён сочетательный закон умножения.
932 +869 +68 = 869 + (932 +68) = 869 +1000 = 1869. Применён сочетательный закон сложения.
158 × 6 +242 × 6 = (158 +242) × 6 = 400 × 6 = 2400. Применён распределительный закон умножения относительно сложения.
