Сложные высказывания, истинные при любых значениях входящих в них других высказываний, называются тождественно истинными, а высказывания, ложные при любых значениях входящих в них других высказываний, называются тождественно ложными.
Определение 2. Конъюнкцией (или логическим умножением) двух высказываний А и В называется такое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания А и В. Обозначается А ^ В («А и В»).
АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ является составной частью одного из современных быстро развивающихся разделов математики — математической логики. Математическая логика применяется в информатике, позволяет моделировать простейшие мыслительные процессы. Одним из занимательных приложений алгебры высказываний является решение логических задач. Основными элементами математической логики служат так называемые высказывания или суждения.
Совокупность элементов, принадлежащих универсальному множеству ******, но не принадлежащих подмножеству А, называется дополнением подмножества А. Обозначим его («не А»). Таким образом, «неA» = {х: х* (******), х ** А}. С помощью диаграммы Эйлера-Венна можно представить универсальное множество в виде прямоугольника, а подмножество А — в виде круга, расположенного внутри этого прямоугольника. Тогда, очевидно, что заштрихованная область будет соответствовать дополнению
Равенство множеств (как и равенство чисел) удовлетворяет следующим свойствам:
1) рефлексивность: для всякого множества А А = А. 2) транзитивность: для любых множеств А,В,С, если А = В и В = С, то и А = С. 3) симметричность: для любых двух множеств А и В, если А = В, то В = А.
Множество называется конечным, если оно содержит конечное число элементов (смотрите примеры 1 и 4), в противном случае оно является бесконечным (пример 3). К конечным множествам относятся, в частности, одноэлементные множества, состоящие только из одного элемента. Необходимо различать объекты а и {а}: а — один элемент некоторого множества, {а} — одноэлементное множество.
