Vict

Теория понятий

Технология семантического мышления

Шрифты предоставлены компанией «ПараТайп»

© Vict, 2018

Уважаемый читатель или даже читательница, если у вас нет проблем с мышлением, то читать этот текст дальше не рекомендуется, ибо по прочтении они могут появиться.

Для теории понятий интерес представляет технология мышления, поскольку, как представляется, вся математика и многие другие (если не все) дисциплины и науки основаны на мышлении.

12+

ISBN 978-5-4485-4976-2

Создано в интеллектуальной издательской системе Ridero

Оглавление

1. Теория понятий
2. 0. Аннотация
3. Вступление, предисловие
4. 1. Введение
5. 2. Философия мышления
6. 3. Познание природы и логика
7. 4. Диалектическая теория семантических множеств
8. 5.Семантика
9. 6. Последний парадокс теории множеств
10. 7. Усиление парадокса Рассела
11. 8. Семантическая диалектическая логика
12. 9. Определение семантических определений
13. 10. Алгебра понятий. Семантические операции
14. 11. Семантические отображения. Технология мышления
15. 12. Прикладная математика
16. 13. Алгебра функций
17. 14. Семантические интегралы
18. 15. Заключение
19. 16. Историческая справка
20. 17. Литература

0. Аннотация

Уважаемый читатель или даже читательница, если у Вас нет проблем с мышлением, то читать этот текст дальше не рекомендуется, ибо по прочтении они могут появиться.

Для теории понятий интерес представляет технология мышления, поскольку, как представляется, вся математика и многие другие (если не все) дисциплины и науки основаны на мышлении. Все проблемы естественного интеллекта от возникновения и до разрешения включительно определяются мышлением. Мышление необходимо даже и в быту, буквально на каждом шагу. Теория понятий исходит из концепции, что мышление и все науки нужны для понимания и совершенствования реального мира. Теория понятий занимается технологией мышления. Для использования теории понятий никакие дополнительные знания не требуются, достаточно мышления. Теория семантических понятий рассматривает мышление в качестве предмета исследования, изучения и применения. Проблематика технологии мышления стала особенно актуальной в самое последнее время в связи с работами по искусственному интеллекту. Если ещё недавно естественный интеллект интересовался, могут ли машины мыслить, то теперь на повестку дня у симбиоза естественного и искусственного интеллекта выходит вопрос — а достаточно ли адекватно мыслит естественный интеллект.

Всякие действия (не только обычные бытовые, но и такие математические, как умножение, интегрирование и т.д.) имеют смысл. Это аксиома (одна из аксиом) теории понятий. Задача мышления — её определение. Это очень трудная задача, особенно для дисциплин, которые от семантики абстрагируются. Мышление как процесс также имеет семантику. Этот процесс, по Кантору, имеет предел. Работу, которая не имеет смысла, нет смысла и выполнять!!!

GOOGLE (Теория понятий)

Теория понятий занимается проблемами мышления. Она представляет технологию развития, совершенствования всего, не исключая и мышления. Теория понятий представляет диалектическую технологию диалектического мышления.

Предлагаемая теория понятий определяет и представляет, в частности, прикладную конструктивную математику, основанную на использовании определения понятия множества Г. Кантора [1]. Современная аксиоматическая абстрактная математика не учитывает естественные изменения реального мира. Абстрактная, аксиоматическая математика слишком примитивна для практического использования.

Современная аксиоматика — кладезь семантических некорректностей и ошибок. Многие аксиоматические несуразности при использовании теории понятий не проявляются.

Теория понятий основана на использовании наивной теории множеств Георга Кантора для формализации применения мышления в теоретических науках. Теория понятий считает, что теория множеств Г. Кантора представляет технологию диалектического мышления, теорию понятий, теорию типов данных и вообще все диалектически мыслимые теории от теории чисел и до теории понятий включительно. Мышление не алгоритмично, но диалектично [7]. Теория понятий считает, что теория множеств представляет технологию развития, совершенствования всего, не исключая и себя.

Предложив определение понятия множества, Кантор заложил фундамент конструктивной математики. И даже заложил фундамент конструктивного логичного мышления. Теория понятий — это теория, в которой используется, применяется логика, в которой вместо неопределяемых аксиом используются, применяются определения. Точнее, определения считаются аксиомаитическими, аксиомами на том основании, что определение не может быть ни доказано, ни опровергнуто. Определение определения в теории понятий предлагается. Правильность определений не обсуждается. Определение определяет то, что оно определяет. Вся внеаксиоматическая математика в ее современном состоянии зиждется на определении понятия множества. Конструктивная математика отличается от традиционной, интуитивно-аксиоматической математики не только основополагающими понятиями. Безаксиоматическая математика, основанная на использовании семантических определений, называется в теории понятий метаматематикой. Теория понятий — это надстройка над математикой, обеспечивающая, в частности, формализацию постановки математических задач.

В конструктивной математике могут быть определены и представлены не только операции, функции и отношения. Определение Кантором понятия множества может быть использовано для определения, создания, построения неких новых сущностей, являющихся обобщением используемых понятий, в частности понятия отношения семантических понятий.

В теории понятий понятия алгоритма и функции не тождественны. Они находятся в некотором семантическом отношении: алгоритм представляет функцию. Понятие алгоритма является обобщением понятия функции.

Понятия и теории в теории понятий представляют формализацию постановки математических, осмысленных задач.

Теория понятий — это множество (!) семантических определений.

Для теории понятий наибольший интерес в определении понятия множества представляют не количественные характеристики совокупностей или даже множеств элементов, сколько отношения элементов и алгоритмы построения элементов, представляющих эти множества элементов. К слову, поскольку определение множества предполагает нахождение некой сущности, представляющей совокупность, или даже множество элементов в полном смысле, то совершенно неважно, какие именно элементы образуют определяющую совокупность. Ибо определяемая сущность должна и будет представлять совокупность в полной мере.

Классическая математика предполагает единую, неизменную аксиоматику. Прикладная математика, представленная Кантором [3], допускает использование каждым математиком собственной, диалектически совершенствующейся аксиоматики. Система ALEPH, представляющая теорию понятий (и/или) прикладную математику, использует термины естественного языка для представления семантики объектов созерцания и объектов мышления.

Классическая математика занимается решением произвольно поставленных задач. Прикладная математика занимается и формализованной постановкой математических задач. В теории понятий обсуждается проблематика постановки осмысленных математических задач. Теория понятий занимается и постановкой, и решением задач. В теории понятий имеются теории, представляющие как постановку, так и решение задач.

В практическом прикладном аспекте с помощью определения понятий могут быть определены новые прикладные понятия, определены новые типы данных (включая и семантические рекурсивные типы) как в алгоритмических, так и в информационных языках, что особенно актуально для новых областей информатики; примерами таких областей информатики являются: математическая экономика (именно как математическая экономика, а не применение математики в экономике), аналогично матфизика (а не применение математики в физике), технологии использования блокчейнов и криптовалют в финансовой сфере, BIG DATA в базах данных и многие другие области мышления. Так, к примеру, теория понятий предлагает формальное определение понятия отношения транзакции для матэкономики.

Семантические понятия могут представлять решения различных семантических проблем. Определениями могут определяться и представляться не только различные предметы, но и даже новые действия. И вообще определениями в теории понятий определяются любые сущности, имеющие определения. Неопределённые сущности в предлагаемой теории понятий не рассматриваются и не используются. Множество понятий бесконечно. Работать с бесконечными понятиями можно по технологии сходящихся последовательностей Коши. Сходящийся рекурсивный тип данных решает многие математические проблемы. Сходящаяся последовательность имеет, определяет определённый предел (по определению сходящейся последовательности). Теория понятий пользуется сходящимися рекурсивными определениями.

Существенным элементом теории понятий является алгебра понятий. Ибо даже в матлогике преобразование понятий иногда подменяется подменой понятий. Так, к примеру, некоторые учёные математики на том основании, что зависимости сущностей представимы формулами, считают, что формулы определяют зависимости реальных предметов созерцания. (В математической логике формальных определений новых понятий не имеется.) В отличие от математики, неизменная аксиоматика которой создаётся единожды и на вечные времена, в теории понятий теории могут развиваться. К сожалению, в классической математике не имеется реального времени. Поэтому, в частности, в этой математике не допустимы сходящиеся во времени рекурсивные определения. Использование не сходящихся диалектических, рекурсивных определений исключено (поскольку они циклят). Теория понятий работает в реальном времени. Утверждение «сегодня 13 января 2020 года» будет в предлагаемой теории понятий истинным, когда это 13 января наступит. Истинность утверждения «сегодня пятница» в теории понятий увеличивается по мере её приближения. Аристотель отдыхает.

Для традиционной математики теория понятий может представлять интерес в такой нетрадиционной и совершенно неразработанной в ней области, как формализация постановки семантических (осмысленных) математических задач. Определение множества — это постановка задачи мышлению. В теории понятий одно и то же семантическое понятие может представлять как постановку задачи, так и её решение.

В теории понятий множество (принципиально, что именно множество, а не совокупность) семантических определений образует и представляет семантическую метаматематическую теорию. Теория понятий является (не называется, а именно является) теорией по определению, по собственному определению понятия теории. Семантическая теория может быть исполнена.

А вообще-то предлагаемая теория понятий, в отличие от математики, царицы всех наук, очень ограниченная, (но) органичная, прикладная дисциплина, (Теория понятий очень, весьма прагматичная дисциплина. Устаревшие аксиоматические игры не для неё.) Теория понятий безамбициозная дисциплина в том смысле, что она ограничивает себя рассмотрением и использованием наивной теории множеств Георга Кантора (что означает, что не всякая совокупность сущностей образует, является множеством), арифметики в представлении Эйлера, функциями Лейбница, рассмотрением реального физического пространства в виде трёхмерного метрического пространства (правда, с той поправкой, что так называемая «метрика» представляется не функцией) и вообще использованием только явно определённых сущностей. Если при использовании теории понятий возникают некие проблемы, то можно обращаться к вышеозначенной царице.

Теория понятий определяет и представляет некий виртуальный мир, надстроенный над реальным миром.

Замечательным свойством теории понятий является то, что любая теория теории понятий всегда представляет собой законченный продукт, готовый к применению и к исполнению.

Теория понятий не замена математики, а её доопределение. Математика и теория понятий друг друга дополняют и конкурируют.

Если «МЫСЛИТЕЛЬ» хочет предложить некое новое семантическое понятие, то он имеет возможность воспользоваться предлагаемой теорией понятий схемой мышления Кантора. Теория понятий считает мышление «МЫСЛИТЕЛЯ» удовлетворительным, если он хотя бы сам пользуется своими мыслями (понятиями). В целом теория понятий представляет технологию самосовершенствования всего, не исключая и себя.

Теория понятий считает, что реальный мир определяет математику, которая его представляет.

Вступление, предисловие

Понятие есть «…высший продукт мозга,

высшего продукта материи».

Ленин В. И., ПСС, т. 29, с. 149

Основоположником проблематики современного мышления можно считать Иммануила Канта. В работе «Критика чистого разума» он сформулировал основные концепции мышления. В качестве основной концепции он провозгласил: «Sapere aude! — имей мужество пользоваться собственным умом! — таков девиз Просвещения». Кантор предложил формализацию рассматриваемых в научных теориях понятий. Теория семантических понятий использует мышление для единения элементов совокупностей элементов в формальных определениях Кантора и разрабатывает алгоритмический метаязык ALEPH, представляющий теорию семантических понятий. Формы системы GOOGLE CHROME почти идеально подходят для представления семантических понятий метаязыка ALEPH. GOOGLE («Семантические понятия, теории и алгоритмы»).

1. Введение

Уважаемый читатель, если Вы по роду своей деятельности используете некую систему понятий, или, быть может, даже аксиоматическую математику Рассела — Цермело — Френкеля, или нормальные алгоритмы Маркова и они Вас вполне устраивают, то читать далее предлагаемую работу нет никакого смысла. Но если Вам требуется рассматривать различные предметы созерцания и предметы мышления, не исключая и свои собственные, и если Вам желательно понимать и использовать хотя бы свои собственные понятия и утверждения или Вы хотите усовершенствовать своё мышление, то использование наивной теории множеств Георга Кантора и её семантического варианта, представляемого предлагаемой работой, может оказаться небесполезным.

2. Философия мышления

Основоположником современной немецкой классической философии считается Иммануил Кант. В работе «Критика чистого разума» он сформулировал основные концепции философии. В качестве одной из них он провозгласил: «Sapere aude! — имей мужество пользоваться собственным умом! — таков девиз Просвещения».

Старая докантовская философия вообще оказалась не способной заглянуть в те бездны, которые открылись кенигсбергскому философу:

«Я не уклонился от поставленных человеческим разумом вопросов, оправдываясь его неспособностью [решить их]; я определил специфику этих вопросов сообразно принципам и, обнаружив пункт разногласия разума с самим собой, дал вполне удовлетворительное решение их. Правда, ответ на эти вопросы получился не такой, какого ожидала, быть может, догматически-мечтательная любознательность; ее могло бы удовлетворить только волшебство, в котором я не сведущ. К тому же и естественное назначение нашего разума исключает такую цель, и долг философии состоял в том, чтобы уничтожить иллюзии, возникшие из-за ложных толкований, хотя бы ценой утраты многих — признанных и излюбленных фикций. В этом исследовании я особенно постарался быть обстоятельным и смею утверждать, что нет ни одной метафизической задачи, которая бы не была здесь разрешена или для решения которой не был бы здесь дан, по крайней мере, ключ».

Предметом философии отныне, согласно Канту, становится область чистого (то есть независимого от опыта) разума. И далее начинается пиршество мысли. Как ученого, сделавшего, кстати, немало в области конкретных наук (достаточно вспомнить, что он одним из первых дал правильное объяснение морских приливов и отливов под воздействием притяжения Луны, разработал оригинальную гипотезу происхождения Солнечной системы и т.д.), Канта интересует прежде всего вопрос: как возможны в принципе такие науки, как математика, естествознание и философия. Но как философ он ставит вопрос еще шире: откуда вообще берется всякое знание, содержащее истины, и как оно формируется на основе первичных и ненадежных чувственных данных.

Скрупулезному обоснованию видения данной проблемы и посвящены почти 700 страниц текста «Критики чистого разума». Кант шаг за шагом проводит изумленного читателя над бездной неизведанного. Показывает, как на фундаменте чувственных первоощущений пространства и времени возникают простые и сложные понятия, которыми оперирует человек в своей повседневной жизни. Среди них научные идеи и категории, находящиеся в диалектической субординации. Понятийный синтез, точно в химической реторте, целиком и полностью свершается в нашем сознании. Кант поименовал этот жизненно важный и таинственный даже для него самого акт превращения простого в сложное — трансцендентальной апперцепцией, положив тем самым начало не слишком отрадной традиции — облекать свои мысли и выводы в трудно постижимые и неудобоваримые категории, чем так прославилась классическая немецкая философия. Логически безупречно Кант подводит читателя и к парадоксальному выводу: любые законы — природы в том числе — находятся в нас самих: «…Рассудок не черпает свои законы (a priori) из природы, а предписывает их ей».

Этот парадоксальный вывод представляет собой философское определение понятия смысла, определение семантики в теории понятий. Хотя, конечно, естественный интеллект способен обходиться и собственным определением семантики.

Кант придумал формализацию. Процедура формализации: любая формализация по определению игнорирует некоторую часть доступной информации и, следовательно, обедняет содержательное представление об исследуемом объекте. Формализация неоднозначна по её же определению. Проблема в том, какую часть информации игнорировать. К сожалению, формализация ослабляет конкуренцию понятий. Теория понятий предлагает применять разумную формализацию и игнорировать (назначать низкие веса) несущественным (малосущественным) для практического использования характеристикам, свойствам объекта. Теория понятий считает, что остающиеся после формализации свойства, характеристики объекта определяют и представляют его семантику. Кантор в своих работах использовал различные упорядочивания характеристик. Теория понятий использует упорядочение по значимости. Семантика существенна. Семантика — это сущность, представляющая другие существующие сущности.

Вопросами формализации естественного языка занимался Хомский. Он предложил к использованию грамматики, свободные от контекста, контекстно свободные формальные грамматики (КС-грамматики), что не исключает возможность использования самого формализуемого языка.

И вообще теория понятий очень (но не чрезмерно) парадоксальная дисциплина.

Понимание утверждений в теории понятий не тривиально (но возможно). Понимать семантическую теорию понятий способен только естественный интеллект, правда не всякий. Некоторые семантические утверждения понимать нет смысла. А некоторые весьма парадоксальные утверждения могут иметь смысл. В теории понятий не исключено даже, что, например, отношение (13 ≠ 13) является вполне осмысленным если, например, одно число 13 является числом в десятичной системе счисления, а другое число 13 является числом в некоторой другой (например, восьмеричной) и тогда действительно имеет место отношение (13 ≠ 13). Не исключены ситуации, когда это отношение имеет большой «семантический смысл».

В теории понятий наряду с «законом» исключённого третьего применяются семантические определения. А закон исключённого третьего считается постулатом. Кантор усовершенствовал традиционную логику, пополнив ее определениями. Так, если в классической логике утверждения могут быть либо истинными, либо ложными, то определения не могут быть ложными. Если определение нечто определяет, то оно это определяет при любой погоде. И никакая логика не требуется. Диалектика заменяет логику. Для развития наук никакая логика не требуется, достаточно диалектических определений.

Кант в работе «Критика чистого разума» обосновывает безаксиоматичность мышления. Кантор, являясь последователем Канта, несколько усовершенствовал логику, формализованную Кантом, и предложил мыслить определениями.

В конце прошлого — начале нынешнего веков, когда философия и наука стали с беспокойством осознавать пагубность традиционной методологии и неизбежность замаячивших впереди тупиков, раздался спасительный лозунг: «Назад к Канту!» Может, и был он чересчур паническим, но рациональное зерно здесь налицо: ни наука, ни философия не могут сделать ни одного шага вперед без тех открытий, которые были совершены в тиши кенигсбергского кабинета и получили свое воплощение в великой книге «Критика чистого разума». «Sapere aude! — имей мужество пользоваться собственным умом! — таков девиз Просвещения».

3. Познание природы и логика

В работе «Познание природы и логика», которую Давид Гильберт представил коллегам-математикам в 1930 году, он пытается выяснить взаимосвязь практики и мышления. Он во многом вынужден согласится с Иммануилом Кантом, признанным авторитетом в области мышления.

Приведём несколько наиболее содержательных цитат из этой работы с некоторыми комментариями:

«Познание природы и жизни — наша первейшая задача. На ее решение направлены все усилия и вся воля человечества, и чем дальше, тем плодотворнее становятся эти усилия. За последние десятилетия нам удалось расширить и углубить наши знания о природе больше, чем за столько же столетий в прошлом. Сегодня мы хотим воспользоваться столь благоприятным положением, чтобы рассмотреть старую философскую проблему, а именно — многократно обсуждавшийся вопрос о том, какая доля нашего знания приходится, с одной стороны, на мышление, а с другой — на опыт. Этот старый вопрос вполне обоснован потому, что ответить на него по существу — означает установить, какова вообще природа нашего естественнонаучного знания и в каком смысле знание, которое мы получаем, занимаясь естественными науками, есть истина».

«Но решению старой философской проблемы, о которой мы упомянули, ныне способствует и другое обстоятельство. В наше время на недосягаемую высоту поднялись не только техника экспериментирования и искусство возведения здания теоретической физики, но и их дополнение — логическая наука — достигло существенного успеха. Ныне существует общий метод рассмотрения естественнонаучных вопросов, который во всех случаях облегчает уточнение постановки проблемы и способствует подготовке ее решения. Я имею в виду аксиоматический метод.

Возникает вопрос: какое отношение имеет познание природы к аксиоматике, о которой сегодня говорится так много? Основная идея заключается в том, чтобы сформулировать в обширных областях науки немногочисленные утверждения, называемые аксиомами, чтобы затем чисто логическим путем возвести все здание теории. Но значение аксиоматики отнюдь не исчерпывается этим замечанием. Лучше всего суть аксиоматического метода нам позволят понять примеры. Древнейший и наиболее известный пример аксиоматического метода — геометрия Евклида».

Комментарий теории понятий: «Аксиоматика Гильберта — система аксиом евклидовой геометрии. Разработанная Гильбертом как более полная, нежели система аксиом Евклида. Но даже в аксиоматике Гильберта отсутствует возможность определения новых геометрических объектов».

А вот еще один пример аксиоматического метода, заимствованный мной из совершенно другой области. Мы привыкли к тому, что в наших теоретических науках используются формальные процессы мышления и абстрактные методы. Аксиоматический метод принадлежит логике. При слове «логика» у многих возникает представление о предмете очень скучном и трудном. Но сегодня логическая наука легко понимаема и очень интересна. Например, стало понятно, что и в повседневной жизни используются методы и возникают понятия, требующие высокой степени абстракции, понимаемые только с помощью неосознанного, интуитивного применения аксиоматических методов.

Следование аксиоматическим методам должно, как нам кажется, действительно привести к системе законов природы, соответствующих в своей совокупности действительности, и необходимо лишь мышление, то есть дедукция в терминах понятий, чтобы построить все физическое знание; и тогда был бы прав Гегель, утверждавший, что все явления природы можно вывести из понятий.

Инструментом, посредством которого осуществляется взаимосвязь теории и практики, мышления и наблюдения, служит математика; она наводит мосты и неусыпно следит за тем, чтобы те не утратили способность выдерживать нагрузку. Отсюда следует, что в основе всей нашей современной культуры, поскольку она направлена на постижение природы разумом и использование природы на благо человеку, лежит математика. Еще Галилей сказал: «Понять Природу может лишь тот, кто знает язык, на котором она говорит с нами, и его письмена; язык же ее — математика, письмена — математические фигуры». Канту принадлежит следующее высказывание: «Я утверждаю, что в каждой области естествознания собственно науки столько, сколько в ней математики».

Истинная причина, по которой Канту не удалось найти неразрешимую проблему, по моему мнению, состоит в том, что неразрешимых проблем вообще не существует. Вместо непознаваемого, о котором твердят глупцы, наш лозунг гласит прямо противоположное: «Мы должны знать, мы будем знать».

В обоснование логики этого утверждения можно привести его замечание о логических парадоксах. Гильберт писал: «…эти парадоксы происходят скорее потому, что используются недопустимые, бессмысленные образования понятий, которые в моей теории исключаются сами собой». Можно сказать, что теория семантических понятий обеспечивает в соответствии с теорией Гильберта постановку семантически корректных проблем, что гарантирует их разрешимость. Алгоритмически неразрешимых проблем не существует!

К сожалению, Гильберт не определяет, что есть аксиоматика. Он считает, что и в повседневной жизни используются методы и возникают понятия, требующие высокой степени абстракции, понимаемые только с помощью неосознанного, интуитивного применения аксиоматических методов. Некоторое аксиоматическое определение, которое может быть использовано для определения различных новых сущностей, предлагает Кантор.

4. Диалектическая теория семантических множеств

«Мно́жество — один из ключевых объектов математики, в частности теории множеств. «Множество есть многое, мыслимое нами как единое» (Георг Кантор). Это не является в полном смысле логическим определением понятия множество, а всего лишь пояснением (ибо определить понятие — значит найти такое родовое понятие, в которое данное понятие входит в качестве вида, но множество — это, пожалуй, самое широкое понятие математики и логики). Существует два подхода к понятию множества.

«Наивная теория множеств» Георга Кантора. Дать определение чему-либо это значит выразить понятие через ранее определенные. При этом должны быть некоторые базовые понятия, которые формально не определены. Множество может быть одним из таких понятий. В рамках наивной теории множеств множеством считается любой четко определенный набор объектов. Кантору принадлежит также следующая характеристика понятия «множество»: Множество — это объединение определённых, различных объектов, называемых элементами множества, в единое целое. Однако вольное использование наивной теории множеств приводит к некоторым парадоксам, в частности к парадоксу Рассела».

Это текст из «Викизнания».

До XIX века считалось, что точного определения множества нет. Множеством считалось любое скопление предметов. В конце XIX века Георг Кантор определил множество как «единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством». Теория понятий считает это утверждение ошибочным, абзацем выше приведено дословное несколько иное канторовское определение понятия множества.

Множество объектов, обладающих свойством A (x)!, обозначается {x|A (x)}!. Если некое множество Y= {x|A (x)}!, то A (x)! называется характеристическим свойством множества Y!. Данная концепция привела к парадоксам. После этого теория множеств была некорректно аксиоматизирована. На сегодняшний день множество определяется как модель, удовлетворяющая аксиомам ZFC (аксиомы Цермело — Френкеля с аксиомой выбора). При таком подходе в некоторых математических теориях возникают совокупности объектов, которые не являются множествами. Такие совокупности называются классами (различных порядков).

На день сегодняшний имеются и другие определения понятия множества.

Мно́жество — одно из ключевых понятий математики, в частности теории множеств и логики.

Понятие множества обычно принимается за одно из исходных (аксиоматических) понятий, то есть несводимое к другим понятиям, а значит, и не имеющее определения; для его объяснения используются описательные формулировки, характеризующие множество как совокупность различных элементов, мыслимую как единое целое. Также возможно косвенное определение через аксиомы теории множеств. Множество может быть пустым и непустым, упорядоченным и неупорядоченным, конечным и бесконечным, бесконечное множество может быть счётным или несчётным. Более того, как в наивной, так и в аксиоматической теориях множеств любой объект обычно считается множеством.

Теория понятий предлагает и использует несколько иное определение множества не в противоречии с наивным определением Кантора.

Диалектика теории множеств

В начале XX века Г. Кантор пришел к выводу, что интуитивная математика, которой он занимается, требует логического обоснования, требует формализации. Требуется основание математики, и Кантор занялся философией математики, проблематикой мышления в математике. Теория понятий считает, что в соответствии с диалектическим законом единства и борьбы (конкуренции) противоположностей, интуитивная математика распалась на две математики: аксиоматическую математику, основанную на формализации, которая абстрагируется от семантики естественного языка, и противоположную прикладную, основанную на использовании этой самой семантики. Занявшись философией математики, Кантор хотел как лучше, а получилось как всегда. В результате появилась не философия математики, а математическая философия (онтология, информатика) аналогично возникновению других математических наук: математической физики, математической логики и т.д., что лишний раз подтверждает, что математика является царицей всех наук. К слову, можно заметить, что саму философию в свое время предложил математик Пифагор. Теория понятий считает, что эта математическая философия представляет единение всех имеющихся наук.

Формализа́ция — представление какой-либо содержательной области (рассуждений, доказательств, процедур классификации, поиска информации, научных теорий) в виде формальной системы или исчисления.

Поскольку лингвистическая структура естественного языка не совпадает с логической структурой форм и законов мышления, которые воплощаются в этом языке, логика вынуждена создавать специальные средства, которые бы дали возможность изъять из естественного языка формы мышления, их логические свойства, существенные отношения между ними, определить принципы логической дедукции, критерии различия правильных и неправильных способов рассуждения.

Создание логики специального языка, наряду с существующей на естественном языке, есть особый процесс, который предусматривает, что созданная искусственная знаковая система является средством фиксации логической структуры мысли, с одной стороны, и средством исследования логических свойств и отношений мысли, с другой. То есть язык логики — это прежде всего её метод. Принято говорить не «искусственный язык логики», а «формализованный язык логики». С лёгкой руки немецкого философа Иммануила Канта логике приписали прилагательное «формальная», поэтому логику стали называть формальной, а её метод — формализацией.

Любая формализация по определению игнорирует некоторую часть доступной информации и, следовательно, обедняет содержательное представление об исследуемом объекте.

Форма́льная систе́ма (форма́льная тео́рия, аксиоматическая теория, аксиоматика, дедуктивная система) — результат строгой формализации теории, предполагающей полную абстракцию от смысла слов используемого языка, причем все условия, регулирующие употребление этих слов в теории, явно высказаны посредством аксиом и правил, позволяющих вывести одну фразу из других.

Формальная система — это совокупность абстрактных объектов, не связанных с внешним миром, в которой представлены правила оперирования множеством символов в строго синтаксической трактовке без учёта смыслового содержания, то есть семантики. Строго описанные формальные системы появились после того, как была поставлена задача Гильберта. Первые ФС появились после выхода книг Рассела и Уайтхеда «Формальные системы».

И в то же время. Философия математики предполагает также построение семантической теории «языка» математики для изучения смысла математических высказываний и сущностей абстрактных объектов. Теория понятий, напротив, основана на использовании семантики естественного языка, полагая, что естественный язык за время своего многовекового развития наилучшим образом представляет реальный мир. Теория понятий считает, что реальный мир определяет прикладную математику, которая его представляет. Семантическая математика более прагматична.

Ещё одним из вопросов философии математики является вопрос о собственной (онтологической) возможности выделения оснований математики, Первый в истории философии ответ на данный вопрос дал Платон в диалоге «Парменид» в форме тезиса «теория соотношения единого и многого образует мир». Этот тезис почти дословно представляет определение множества Кантора.

Единение совокупности семантических понятий образует понятие виртуального мира.

Теория понятий считает, что, занявшись философией математики, Кантор осознал, что материальность реальна, и это осознание он представил определением понятия множества, что не исключает возможность использования в теории множеств (как и во многих других реально создаваемых в реальном времени теориях) понятия реального времени (Real Time). В теории понятий истинность утверждения «сегодня пятница» возрастает по мере её приближения. Аристотель отдыхает. Работает иная, диалектическая логика.

Кроме того, Кантор задумался, как бы абстрактную высшую математику, которой он занимался всю жизнь, можно бы было применить, использовать в быту, в обычной человеческой деятельности. В работе https://studfiles.net/preview/6718656 довольно подробно рассмотрены философско-религиозные аспекты генезиса теории множеств Г. Кантора [2].

Кантор пришёл к заключению, что для превращения математики в содержательную прикладную дисциплину необходимо в математике рассматривать предметы мышления наряду с прочими предметами созерцания. Кантор пришел к выводу концепции — аксиоме, что в любой науке (не исключая и математику) обобщающее понятие может представлять всю совокупность определяющих его инициальных понятий, и сформулировал это утверждение в виде определения понятия множества. Таким образом, проблемой мышления в конкретных науках является обнаружение как исходных, инициальных, так и обобщающих понятий. Кантор использовал обобщающие понятия в качестве типа данных в прикладных дисциплинах.

Сущность, определяемая определением понятия множества, учитывает, как естественные изменения предметов созерцания, так и естественные изменения естественного интеллекта и даже учитывает изменения самой математики в процессе её развития. Сплошная диалектика. Предлагая определение понятия множества, Кантор превращает абстрактную математику в естественнонаучную дисциплину. Предложив определение понятия множества, Кантор поставил математику с ног на голову. Даже коллеги перестали понимать диалектику его работ. Кантор отметил в одном из писем: «…согласно Миттаг-Леффлёру, я должен подождать до 1984 года, что кажется мне слишком большой просьбой!.. Но конечно, отныне я никогда ничего не хочу знать об Acta mathematica». Теория семантических понятий трактует определение понятия множества как постановку задачи мышлению нахождения алгоритма построения множества!

Предложив определение понятия множества, Кантор тем самым формализовал диалектику. Предложил схему развития и совершенствования не только математики. Больше того, предложенная Кантором формализация определяет диалектическую диалектику. Кантор осознавал, что даже математика эволюционирует. Эволюция есть сходящаяся последовательность семантических определений.

Начиная с Гегеля, диалектика противопоставляется метафизике Канта как способу мышления, который рассматривает вещи и явления как неизменные и независимые друг от друга.

Георг Кантор, являясь последователем Иммануила Канта, строит новую безаксиоматическую математику — метаматематику. Метаматематику, основанную исключительно на семантических определениях. Метаматематика — это математика, в которой используется, применяется логика, в которой вместо неопределяемых аксиом используются, применяются определения. Определение определения выводится. Правильность определений не обсуждается. Определение определяет то, что оно определяет.

Теория понятий, теория, основанная на использовании предложенной Кантором схемы мышления, как одна из возможных реальных теорий строится в реальном времени по правилам построения множеств, учитывает семантику данных и позволяет рассматривать не только сходящиеся или не сходящиеся числовые последовательности, но и сходящиеся или не сходящиеся последовательности понятий, теорий и даже последовательности алгоритмов. Для установления факта сходимости последовательности по критерию Коши достаточно счётного количества элементов последовательности. Метаматематику, использующую так определяемые сущности мышления, следует считать диалектической семантической математикой. Сходящаяся последовательность семантических алгоритмом имеет своим пределом алгоритмически полный метаалгоритм P: {NPi} => P. И вообще теория понятий считает, что все формальные диалектические теории строятся по Кантору.

С точки зрения семантической, диалектической математики, не любая совокупность, например, даже, быть может, очень истинных аксиом, постулатов, утверждений, понятий может определять некое новое утверждение, аксиому, понятие или даже теорему, а лишь такая совокупность, элементы которой находятся в определённой взаимосвязи, находятся в определённом взаимодействии. Семантический полиморфизм. Такую совокупность элементов Кантор считает и называет множеством. Новую определяемую сущность (по Кантору) создаёт операция единения таких элементов множества. Поскольку определяющая множество совокупность элементов может содержать предметы созерцания, теория понятий не исключает наличия функциональной зависимости таких элементов, которая естественно может учитываться при осуществлении единения элементов при создании понятия множества. Теория понятий считает, что совокупность определений понятия множества Кантора представляет миропонимание мыслителя.

В соответствии с определением множества, виртуальная сущность, представляемая этим определением, является как предметом мышления, так и предметом созерцания, что позволяет её использовать в последующих определениях множеств.

В формулировке Георга Кантора: «Под „множеством“ мы понимаем соединение в некое целое M определённых, хорошо различимых предметов mi нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться „элементами“ множества M). И это множество М представляет эту совокупность {mi}». Предметы созерцания могут находиться в некоторой взаимозависимости, которая может учитываться при единении этих элементов. Кроме того, предметы нашего созерцания могут быть изменчивыми во времени. Авторам данной работы неизвестны другие работы, в которых бы использовались множества в определении Кантора. При использовании множеств следует учитывать, что теория множеств основана на рассмотрении реальных предметов созерцания. В лучшем случае используется зачем-то термин множество как синоним совокупности. Даже в аксиоматических определениях множеств рассматриваются только совокупности неопределённых элементов. В теории понятий даже пустое множество должно быть определено. У Кантора множество M определяется таким единением определённых, хорошо различимых предметов, что оно (это M) эту совокупность представляет. Теория семантических понятий считает, что определение понятия множества может рассматриваться как постановка математической задачи определения такой сущности M, которая представляет совокупность элементов мышления и созерцания {mi}. Нахождение этой сущности представляет решение поставленной математической задачи.

Теория понятий считает, что определение понятия множества является как предметом созерцания, так и предметом мышления. Такова диалектика мышления. Действительно: в определении M: {mi} определяемая сущность M отлична (хотя бы потому, что она вновь образованная) от всех элементов определяющей совокупности {mi}, поэтому может быть рассмотрена новая совокупность {M, mi} в качестве новой определяющей совокупности. Теория понятий считает, что схема M: {mi}, представляющая определение понятия множества, представляет технологию диалектического мышления.

Определение понятия множества, предложенное Кантором, для некоторых «математиков» {Рассела, Цермело, Френкеля и некоторых других} оказалось слишком сложным для понимания, и они его несколько упростили, выбросив из него всю его суть, всю семантику. В результате получилась эта выше упомянутая синонимия «множество это совокупность». Для пущей напыщенности и наукообразия они стали называть эту синонимию аксиомой, воспользовавшись отсутствием формального определения понятия аксиомы. Аксиоматическая теория множеств диалектикой не обладает. Вообще-то, с юридической точки зрения такое использование определения Кантора, мягко говоря, следует считать нарушением авторских прав. Теория понятий считает, что миропонимание этих математиков отличается от миропонимания Кантора.

Замечание для аксиоматиков: совокупность в миллион или даже в счётное количество идентификаторов никакого даже наивного множества Кантора не образует.

Бесконечных совокупностей элементов не имеется. У Кантора совокупность элементов определяет множество этих же элементов. Во многих «математических» работах идентификатор множества трактуется как название рассматриваемой совокупности элементов. Можно обратить внимание, что для называния совокупности элементов никакого их единения и тем более понимания вовсе не требуется. Кроме того, название совокупности вряд ли способно представлять все элементы этой совокупности. Кантор считает, что на эту роль может претендовать лишь некая новая сущность, определяемая всей совокупностью элементов с учётом их взаимоотношений и взаимодействий (не исключая и технологию их определения). Кантор называет эту сущность множеством. Поскольку определение множества требует, чтобы этот элемент M представлял определяющую совокупность элементов, то совершенно неважно, каким конкретно способом это будет осуществляться. Теорию множеств устраивает любой. Теория понятий считает и называет эту сущность семантикой. Семантика в теории понятий это то, что определяется канторовским определением множества. И неважно, как эту сущность называть, главное, чтобы было что называть. Кантор в своих прикладных работах считает и называет её типом данных. Семантика в теории понятий это не досужая выдумка досужих мудрецов, а реальное свойство, реальная характеристика реальных сущностей и реальных действий. Семантика как мера определённости по смыслу есть величина, обратная энтропии. Теория понятий считает, что схема M: {mi} это не выдумка Кантора, а схема мироустройства. Теория понятий считает, что некая теория или даже некая аксиоматика обретает практический смысл, практическую значимость и ценность, когда она является элементом совокупности продуктивного определения понятия множества. Использование аксиом или даже аксиоматик в совокупностях Кантора решает многие проблемы математики. Классическим примером использования понятия множества можно считать определение числа Эйлера: Эйлер предложил универсальный (алгоритмически полный) сходящийся алгоритм его вычисления (для всех систем счисления). Для обеспечения сходимости ряда Эйлера требуется трансфинитное множество натуральных чисел.

В теории понятий считается, что если элемент M получен посредством мышления «Мыслителя», то в соответствии с определением Кантора он может быть использован в определении следующего множества Кантора. Таким образом, образуется последовательность образуемых таким способом элементов. Такие последовательности с полным основанием можно считать формализацией диалектики, поскольку все элементы этой последовательности полностью представляют предыдущие совокупности предметов мышления и предметов созерцания. Диалектика по Кантору измерима. Аксиоматическое множество Рассела — Цермело — Френкеля, в отличие от диалектического множества теории понятий, адиалектично. (Но это не исключает возможности его использования в теории множеств в качестве элемента совокупности.) Теория понятий считает, что теория множеств, к счастью, не аксиоматизируема. Точнее, наоборот, определение понятия множества является аксиомой.

Аксио́ма (др.-греч. ἀξίωμα «утверждение, положение») или постула́т — исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства и используемое при доказательстве других ее положений, которые, в свою очередь, называются теоремами. Это определение может считаться аксиомой в соответствии с его собственным определением. Круг замкнулся.

Определение понятия множества считается аксиомой теории понятий. Теория понятий считает любые определения аксиомами на том основании, что их невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Опять же, по определению.

Теория понятий считает, что не Рассел аксиоматизировал теорию множеств, а Кантор теорией множеств формализовал концепцию аксиоматики (аксиоматических системы для всех прикладных дисциплин). В формализованной Кантором аксиоматике вместо аксиоматических правил вывода используется определяемое определением множества понятие алгоритма — алгоритмы, которые могут быть исполнены.

Среди инициальных предметов созерцания реального мира, естественно, не может быть сущности, представляющей предметы созерцания. Её требуется создавать. Создать её может только алгоритм.

Единение является алгоритмом не потому, что представляет совокупность, а, наоборот, представляет, потому что является алгоритмом.

Для упомянутых бесконечных последовательностей имеет место теорема Кантора — Бернштейна — Шрёдера, которая утверждает и доказывает, что для бесконечных множеств отношения взаимно однозначного соответствия возможны. Для конечных совокупностей такие отношения не всегда семантически корректны. Относительно таких бесконечных последовательностей Кантор сформулировал гипотезу, известную как «Гипотеза Кантора», или проблема континуума, или как первая проблема Гильберта.

При такой диалектической интерпретации определения множества любая конкретная совокупность элементов {Mi} определяет бесконечное множество бесконечных множеств совокупностей элементов, что, по теореме Кантора — Бернштейна — Шрёдера, обеспечивает взаимно однозначные соответствия любых получающихся бесконечных множеств, что очевидным образом обеспечивает выполнение континуум гипотезы Кантора. Гипотеза Кантора очевидным образом следует из теоремы Кантора — Бернштейна — Шрёдера при диалектической интерпретации определения множества.

Таким образом, если при рассмотрении множеств Кантора используется определение множества Кантора в оригинальном, не искажённом (диалектическом) виде, некоторые утверждения теории становятся очевидными.

В рассуждениях Кантора о типах данных достаточно определённо предсказывается диалектика типов вплоть до предсказания типа данных называемого в современной терминологии блокчейном.

Диалектическая теория множеств в современной терминологии является (а не называется!) блокчейном.

В метаязыке ALEPH в системе программирования ALEPH в качестве типов данных используются идентификаторы, представляющие совокупности предметов созерцания и предметов мышления. На алгоритмическом метаязыке ALEPH пользователь при построении канторовской совокупности элементов может использовать любые определённые сущности.

Теория понятий считает, что теория понятий представляет технологию совершенствования всего, не исключая и себя.

Теория понятий считает, что искусство мышления заключается в отыскании элементов (сущностей) {mi} таких, что одна из них представляет все остальные. Ещё она считает, что аксиоматическая математика детренирует мышление.

В работе https://studfiles.net/preview/6718656 довольно подробно рассмотрены философско-религиозные аспекты генезиса теории множеств Г. Кантора. приведем некоторые фрагменты (с некоторыми комментариями) этого исследования, имеющие отношение к теории понятий и теории типов данных.

Глава III Философия математики у Кантора: между «Свободой математики» и «Hypotheses non fingo»

§1. «Сущность математики заключается в её свободе»

Теория множеств в той форме, в какой ее строил сам Кантор, еще до появления парадоксов, до четкого выделения ее аксиоматического базиса и использования современных средств математической логики, называется традиционно «наивной» теорией множеств. Она предполагает постоянную апелляцию к некоей общепринятой интуиции множества. И здесь должно заметить, что парадоксы и вся дальнейшая история развития теории множеств и представляли собой как раз критику этой основной интуиции.

Теория понятий считает, что наивная теория множеств, к сожалению или к счастью, не аксиоматизируема в устаревшей аксиоматике.

Всякая логически непротиворечивая конструкция, связанная определенным образом с традиционными математическими понятиями, имеет право на существование в математике. Это было исходно основным убеждением Кантора. Поэтому можно представить себе шок (как считают некоторые современные математики), который он испытал при открытии парадоксов, связанных с самим понятием множества, таким, казалось бы, простым, очевидным и даже примитивным. Заметим, что первый парадокс теории множеств был обнаружен самим Кантором, что не остановило его от продолжения работы по развитию теории множеств. Кантор понимал, что эти логические парадоксы преодолимы средствами самой теории множеств.

В своей работе над теорией множеств Кантор уделял большое внимание типам данных. Именно Кантор предложил и ввёл в обиход это понятие.

Приведём фрагмент работы Катасонова, посвящённый изложению работ Кантора, посвящённых типам данных [4].

§3. Канторовские проекты приложения теории множеств в естествознании.

Кантор питал большие надежды на применение теории множеств в естествознании. Его подход, связанный с переформулировкой всех понятий физики, химии (а может быть, и биологии) в терминах теории множеств, представляет собой как бы воскрешение пифагорейской программы: «Числу все вещи подобны»¹. Однако за одним существенным исключением: пифагорейцы все-таки говорили о конечных числах, и актуально бесконечные множества никогда не входили в их рассмотрение. Канторовская программа в естествознании представляет собой своеобразный титанический пифагореизм. Впрочем, она так и осталась гипотезой…

В отозванной из «Acta Mathematica» в 1885 г. статье Кантор писал: «Действительные целые числа 1, 2, 3, … образуют относительно очень малую разновидность объектов мысли, которые я называю порядковыми типами или просто типами (от+ot) upoV) … Поэтому та дисциплина, которую сегодня называют «высшей арифметикой» (Theorie des nombres), является сравнительно малой составной частью, или, если угодно, только началом, введением в чрезвычайно обширное и богатое приложениями учение, которое я называю «теорией порядковых чисел» (theoria typorum ordinalium), или, короче, «теорией типов»… Те же объекты мысли, которые я называю трансфинитными или сверхконечными числами, являются лишь частными случаями порядковых типов. А именно они являются типами вполне упорядоченных множеств…

Мне кажется, что общая теория типов многообещающая во всех отношениях»¹.

Общая теория типов играет, по Кантору, существенную роль как в чистой, так и в прикладной математике. Собственно, чистая математика сводится у Кантора к общей теории множеств. А в последней теория упорядоченных множеств имеет большое значение. В прикладной математике, или, по Кантору, в прикладной теории множеств, общая теория типов также должна занять существенное место. «Под прикладной теорией множеств, — пишет Кантор, — я понимаю то, что обычно называют учением о природе или космогонией, а значит, к ней относятся все естественные науки, связанные с неорганическими и органическими мирами… Математическая физика тоже соприкасается с теорией типов, ибо последняя оказывается сильным и радикальным инструментом для проникновения в суть так называемой материи и ее понятийного построения… С этим же связана и применимость теории типов в химии… Но особенно интересными мне кажутся применения математической теории типов к изучению и исследованию области органического».

Как видим, Кантору рисовались очень широкие перспективы применения общей теории типов. Что же это за теория?

При ближайшем рассмотрении она оказывается и очень элементарной, и порождающей титанические трудности одновременно. Собственно, Кантор дал здесь лишь главные определения теории, будучи остановлен в дальнейшем продвижении необозримым множеством возникающих возможностей. Что касается определения упорядоченных множеств, мы говорили об этом в начале. В общей теории типов к ним добавляется определение N-кратного упорядоченного множества. «Под N-кратным упорядоченным множеством мы понимаем такое множество, все элементы которого упорядочены в N отношениях (измерениях). Эти N отношений тоже должны мыслиться в некоторой последовательности, так что их можно различать как первое, второе, …, N-е отношение». Например, любую группу людей можно, при желании, рассматривать как трехкратно упорядоченное множество: по росту, по весу, по возрасту. В каждом из трех возможных упорядочений наше множество оказывается просто упорядоченным. Кантор определяет отображение таких N-кратно упорядоченных множеств, подобие их и, наконец, N-кратный порядковый тип как то общее понятие, под которое попадают все N-кратно упорядоченные множества, подобные какому-нибудь одному. Несложно также определить сложение и умножение таких кратных порядковых типов. Однако развивать теорию дальше становится очень трудно из-за неохватно огромного количества возможностей N-кратного упорядочения (даже в случае конечных множеств).

Именно с этой теоретико-математической техникой Кантор надеялся дать более адекватное описание природы, чем давала традиционная, возникшая в XVII столетии наука. Он пишет об этом в письме к (нашей соотечественнице) математику С. Ковалевской: «Существуют также типы дважды, трижды, N-кратно и даже w-кратно etc. (причем речь идет не только о естествознании, но и об искусстве) упорядоченных множеств, благодаря которым, как кажется, на старые и новые вопросы арифметики и космологии может быть пролито много света. Все, что я называю порядковыми типами, имеет в той же степени арифметический, как и геометрический, характер, последний, именно, в случае типов кратно упорядоченных множеств. В то время как декартовски-ньютоновски-лейбницевский метод применяется при условии ограничения феноменов природы, я уже многие годы держусь того мнения, что у нас все еще отсутствует соответствующее строго математическое вспомогательное средство, с помощью которого было бы возможно в определенной мере войти внутрь природных процессов с целью тщательного рассмотрения их не извне, а изнутри, чтобы потом дать их более точное, чем прежде, описание; сможет ли моя теория типов быть этим необходимым инструментом, я еще не могу решить, и это выяснится только со временем»¹.

Позже Кантор уже с большей уверенностью говорит о возможности применения своей общей теории типов (хотя существенных теоретических результатов в этом направлении им получено не было). Причем речь идет не только о естествознании, но и об искусстве. Так, в работе «К учению о трансфинитном» Кантор описывает формализацию, как сказали бы мы сегодня, картины и музыкального произведения с помощью теории типов. Всякая картина с этой точки зрения представляет собой некоторый набор точек, конечный или бесконечный, каждая из которых характеризуется четырьмя параметрами: двумя координатами (абсциссой, ординатой), цветом и интенсивностью этого цвета, причем цвета мы считаем поставленными во взаимно однозначное соответствие с длинами их волн. Все четыре параметра упорядочены по величине. Тем самым мы представляем картину как четырехкратно упорядоченное множество. Аналогично можно рассматривать какое-нибудь музыкальное произведение как множество звуков, упорядоченное по четырем «направлениям»: последовательность во времени («раньше», «одновременно», «позже»), продолжительность, высота и интенсивность. Каждому же упорядоченному множеству соответствует определенный порядковый тип, к которому можно применить общую теорию. Кантор, таким образом, предлагает общий метод анализа как природы, так и искусства: «Таким образом, если мыслимо, что в основе музыкальной вещи и картины лежит случайно один и тот же порядковый тип, то отсюда видно, как при известных обстоятельствах самые разнородные вещи могут быть соединены между собой общей связью идеальных чисел».

«Могут быть соединены…» При условии, конечно, что удастся осознать и выразить все многообразие элементов и их связей в произведении искусства в формальных теоретико-множественных терминах. Этот вечный соблазн «поверить гармонию алгеброй» подвигал не одного ученого и художника на утопические проекты формализации искусства. А в ХХ в. модернистское искусство, в своем интеллектуальном ядре, и было как раз грандиозной попыткой свести искусство к науке, «гармонию к алгебре». Кантор в этом смысле и дитя своего времени, и одновременно один из родоначальников-теоретиков формалистских подходов к искусству в ХХ столетии. В формалистском подходе есть своя правда: в произведении искусства наличествует всегда некая формальная структурность, которую можно выделить и изучать научными и, в частности, математическими методами. Однако, как показывает опыт, вся глубина искусства, его символическая значимость не выражаются через чисто формальные элементы. Практически попытка найти это выражение ведет к формальным конструкциям головокружительной сложности, реально неосуществимым. Кантор же, несмотря ни на что, верил, что такое познавательно плодотворное расчленение искусства возможно.

Здесь всегда вспоминается введенное Блезом Паскалем четкое различение двух типов ума: l’esprit géométrique и l’esprit de finesse, ум геометрический и ум проницательный (если можно так перевести второй, трудно поддающийся переводу термин). Ум геометрический способен работать с ограниченным числом абстрактных принципов и логически выводить из них различные положения. Ум проницательный способен ориентироваться и выносить суждения в очень сложной интеллектуальной ситуации, обусловленной нередко необозримым числом принципов, способен разом схватывать узловые положения и формулировать их. Ум геометрический, могли бы сказать мы, — это оперирующий по фиксированным правилам, в условиях заданных определений, человеческий рассудок. Ум проницательный — это вся таинственная глубина способности суждения в сфере эстетического, нравственного, интеллектуального. Вообще говоря, эти две способности взаимодополнительны. «Поэтому то, что некоторые проницательные умы не могут быть геометрами, — пишет Паскаль, — обусловлено тем, что они никак не могут обратиться к началам геометрии; а то, что геометры не могут быть проницательными, связано с тем, что они не видят того, что находится у них перед глазами, так как, привыкнув к четким и жестким принципам геометрии и умея размышлять только при условии ясного восприятия этих принципов, они теряются перед вещами, требующими проницательности, принципы которых не даются таким же образом. Эти принципы едва видимы, их скорее чувствуют, чем видят; и приходится затрачивать бесконечные усилия, чтобы заставить почувствовать их тех, которые сами их не воспринимают; эти принципы суть вещи столь тонкие и они столь многочисленны, что для того, чтобы их почувствовать, необходимо иметь восприятие очень чуткое и отчетливое, не располагая чаще всего возможностью доказать их последовательно, как в геометрии, потому что начала их не даны и возможное доказательство уходило бы в бесконечность. Здесь требуется увидеть вещь сразу, с одного взгляда, по меньшей мере, до определенной степени, а не благодаря рассуждению». Название «геометрический ум» не означает, что в геометрии работает только эта способность. И в геометрии, и в математике вообще вместе со способностью к строгой логической дедукции играет большую роль также и способность к целостному интуитивному охватыванию предмета, ум проницательный. Так что и сама математика в этом смысле совсем не однородна. Скорее здесь, как и в искусстве, как и в других сферах человеческой жизнедеятельности, обозначаются два направления: одно — стремящееся свести всю совокупность действий к некоторому фиксированному алгоритму, к технике и, следовательно, к автомату; и другое — признающее за знаковыми системами и человеческими действиями только символическое значение, требующее для своей интерпретации целостного человеческого сознания. Мы не можем, однако, развивать здесь эти соображения дальше.

Вернемся к канторовским проектам в естествознании. Создатель теории множеств не раз писал, что он был всегда не удовлетворен гипотезами о последних элементах материи, применяемыми в физике. В особенности это касалось представлений об атоме как имеющей конечную, хотя и очень малую величину, частице материи. Кроме того, вставал вопрос о количестве атомов во Вселенной. «Я нисколько не сомневался, что для получения безупречного объяснения природы последние или первоначальные простые элементы материи следует предполагать имеющимися в актуально бесконечном числе и рассматривать их в отношении пространственности как совершенно непротяженные и строго точечные». Эту точку зрения частично поддерживали: М. Фарадей, А. Ампер, В. Вебер. К ней примыкал также и математик О. Коши, хотя нужно всегда помнить, что, в отличие от Кантора, количество атомов во Вселенной, по Коши, должно быть конечным.

Сведя материю к безразмерным точкам, Кантор надеялся, что тогда и физику удастся свести к теории точечных множеств, т.е. к одному из применений общей теории множеств. «Однако, чтобы иметь возможность реализовать это фундаментальное представление, мне казалось необходимым предпослать этому общие исследования о точечных множествах в том виде, как я их проводил. Простые элементы природы, из объединения которых в некотором смысле получается материя, я, примыкая к Лейбницу, называю монадами или единицами…»

Здесь необходимо сделать замечание. «Примыкание» Кантора к Лейбницу довольно спорно. У Лейбница монада есть субстанция, т.е. «существо, способное к действию». Монады, хотя и не имеют частей, отличаются одна от другой внутренними различиями и действиями. Все это богатство лейбницевской метафизики не имеет никакого отражения в теории множеств Кантора. Точки, элементы множеств, — все тождественны и качественно идентичны. Хотя Кантор и называет их, как и Лейбниц, единицами и, как мы видели выше, даже говорит об органических единствах единиц (в числе), однако это не оказывает никакого влияния на теорию множеств, где элементы множеств не имеют никакой «внутренней жизни». Следует заметить, кроме того, что у Лейбница монады, строго говоря, не есть точки в пространстве. Монады суть духовные существа, и не существует никакого пространства, объемлющего их. У Лейбница не монады существуют в пространстве, а пространство есть один из модусов представлений монад. Кантор в этом смысле довольно натуралистически интерпретирует лейбницевскую метафизику.

В духе физики своего времени Кантор предлагает рассматривать два типа материи, или «две материи», как выражается он сам: телесную и эфирную. Ей соответствуют два типа монад: телесные и эфирные монады. «С этой точки зрения, в качестве первого вопроса, до которого, однако, не додумались ни Лейбниц, ни более поздние ученые, возникает такой: какие мощности соответствуют этим двум материям в отношении их элементов, когда они рассматриваются как множества телесных, соответственно, эфирных монад? В этой связи я уже давно выдвинул гипотезу, что мощность телесной материи — это та, которую я называю в своих исследованиях первой, но, что напротив, мощность эфирной материи является второй»¹. Другими словами, мощность множества телесных монад есть, по Кантору, a0 — мощность счетного множества, а эфирных — a1, первое, следующее за a0 кардинальное число. Это предположение необходимо Кантору для реализации его чисто формального подхода, т.е. основанного не на каких-то опытных данных, а на применении исключительно общих теорем теории множеств. Дело в том, что в своей теории для точечных множеств первой и второй мощности Кантор доказал некоторые стандартные разложения этих множеств в сумму других, более простых множеств, отличающихся друг от друга, так сказать, разной «плотностью». Эти же стандартные множества, в свою очередь, Кантор надеялся интерпретировать как ответственные за различные феноменальные проявления материи: агрегатные состояния вещества, химические свойства, свет и тепло, электричество и магнетизм. Впрочем, все эти положения так и остались лишь неподтвержденными гипотезами.

Все эти рассуждения становятся очень понятными, если вспомнить, что множество, по Кантору, есть единение предметов созерцания и предметов мышления.

Теория понятий использует понятие множества в формулировке Кантора, в частности, в прикладной математике. В отличие от аксиоматической теории множеств, в определении понятия множества Кантора множеством считается сущность M, представляющая совокупность предметов мышления и предметов созерцания {mi}. Кантор считает сущность M, определяемую совокупностью элементов {mi} типом данных. Элементы mi считаются данными типа mi. Так определяемые типы данных представляют диалектический тип данных [4].

Определение понятия типа данных в теории понятий несколько отличается от определения типа данных в современных языках программирования.

Определение типа в теории понятий индуктивно и вычисляемо.

Определение типа в теории понятий выглядит более обоснованно.

В алгоритмическом метаязыке ALEPH используются типы данных в определении Кантора. В работе [3] представлен начальный вариант алгоритмического метаязыка.

В определении понятия множества требуется, чтобы элементы совокупности, определяющей понятие множества, были различны. Из этого следует, что пользователь, использующий определение множества, должен уметь различать используемые предметы. Теория понятий считает, что совокупность сравнимых элементов определяет тип данных.

Метаязык ALEPH это система программирования. Теория понятий трактует определение понятия множества как проблему отыскания сущности, представляющей результат такого единения.

Почти идеальным средством для представления канторовских типов данных является использование форм системы GOOGLE.

5.Семантика

Семантика числа Эйлера

Вопрос: Какие числа лучше использовать для вычисления значения числа e: восьмеричные или десятичные?

Ответ: любые (хоть даже в тринадцатеричные). Значение числа e однозначно определяется его определением. Парадокс! Значение числа e не зависит от системы счисления. Это утверждение и не доказать, и не опровергнуть! Теория понятий считает, что число e представляет все множества всех чисел во всех системах счисления и в соответствии с «наивным» определением понятия множества, по Кантору. Число e придумал Эйлер и предложил универсальный (алгоритмически полный) сходящийся алгоритм его вычисления. Некоторые математики предлагают переводить тринадцатеричное число Эйлера в десятичную систему. Теория понятий не против, правда, не понятно, чем десятичная система лучше тринадцатеричной. И встаёт практический вопрос: с какой точностью?

Определение числа Эйлера определяет отношение взаимно однозначного соответствия двух бесконечных множеств: множеств чисел {0 … e} & {e …} вне зависимости от способа определения самих чисел. В соответствии с теоремой Кантора — Бернштейна — Шрёдера.

Семантика — это не досужий домысел досужих мыслителей. Теория понятий считает, что семантика — это сущность, представляющая смысловую суть некой другой сущности или даже действия. Свойства предмета созерцания в теории понятий считаются предметами созерцания.

Семантика в теории понятий это сущность, представляющая совокупность предметов мышления (и/или) предметов созерцания. Сама семантика считается и предметом мышления, (и/или) предметом созерцания в определяющей её совокупности. В теории понятий используются идентификаторы, представляющие семантику называемых ими предметов.

Многие наивные математики усматривают семантику определения множеств Г. Кантора в количественных характеристиках совокупностей элементов. Теория понятий усматривает семантику совокупностей в характере взаимоотношений элементов, совокупностей. К сожалению, аксиоматика множеств игнорирует эти взаимоотношения, что приводит к логическим парадоксам. Взаимоотношения могут быть очень разнообразными, вплоть до функциональных. Это полиморфизм определения множества. Если некоторые элементы созерцания или даже мышления находятся в естественной взаимозависимости, то её и определять словами нет необходимости. Единственное, что может потребоваться в этой ситуации, это лишь удостовериться в её наличии. Но это уже вне теории понятий. Кантор предложил пополнять предметы мышления предметами созерцания и ставить предметы мышления в один ряд с предметами созерцания. Кантор, наверное, не случайно использовал для называния определяемой сущности термин множество, который в бытовом смысле очень близок термину совокупность элементов. Этим лишний раз подчёркивается, что определяемая сущность по определению не отличается от совокупности элементов, хотя и не является совокупностью элементов. Опять парадокс. Неформальная семантика сущностей доступна посредством оператора GOOGLE (термин).

Формальная семантика сущностей, в соответствии с определением формализации по Канту, определяется совокупностью характеристик сущности, остающихся после её формализации.

В определении понятия множества несколько неопределённым остаётся вопрос о единении элементов. Поскольку в определении понятия множества способ, алгоритм единения элементов определяющей совокупности не определён и не зафиксирован, теория понятий полагает, что процедуру единения может определять пользователь. Не исключено, что сущности, определяемые на некоторой конкретной совокупности элементов, могут в теории множеств различаться. «Если нечто не исключено, то оно возможно». Но определение понятия множества требует, чтобы в любом случае сущности, составляющие определяющую совокупность, были различимы. Так, если мы сумеем различать определяемые множества, то в качестве предметов нашего мышления элементами множества могут являться определённые множества. Существенно, что не определяемые множества, а уже определённые множества. Это требование определения множества. Ибо не определённые множества различать затруднительно.

Ещё один нюанс в определении множества: определение множества предполагает, что некая сущность M представляет совокупность элементов {mi}. Практически это не всегда выполнимо. Даже найти сущность, которая будет представлять эту совокупность хотя бы в некоторой степени не так просто. Решение о мере представимости теория понятий также оставляет за пользователем. В некоторых ситуациях это исключено в принципе. На нет и суда нет. Мышление нетривиально.

Как некая сущность может представлять некую другую сущность? Теория понятий полагает, что действие имеет аргумент и результат и действие определяет результат, который это действие представляет. Если результат не отличается от аргумента, то действие не имеет смысла. И результат ничего не представляет.

В своё время, в начале XX века, теории множеств уделялось много внимания в надежде на использование её в качестве надёжного, прочного фундамента математики. Однако в самом начале развития теории множеств в ней были обнаружены логические противоречия (обычно называемые парадоксами). Наиболее простое из них — так называемый парадокс Рассела. В связи с этим канторовская теория множеств как основание математики была отвергнута. Следует заметить, что первый парадокс множеств был замечен ещё самим автором теории множеств, но это не остановило его от продолжения работы над теорией множеств. Кантор понимал, что эти парадоксы преодолимы средствами самой теории множеств. Он понимал, что применение определения понятия множества в классической логике существенно её меняет. В классической аксиоматической логике нет диалектики. Так, если при традиционном подходе язык логики строится на основе произвольных аксиом, то в теории понятий используется семантическая формализация естественного языка. Естественный язык естественно диалектически развивается. Использование естественного языка имеет еще то преимущество, что обеспечивает общепринятые коммуникативные функции. Кантор усовершенствовал традиционную логику, пополнив ее определениями. Так, если в классической логике утверждения могут быть либо истинными, либо ложными, то определения не могут быть ложными. Если определение нечто определяет, то оно это определяет при любой погоде. И никакая логика не требуется. Диалектика заменяет логику. Для развития наук никакая логика не требуется, достаточно диалектических определений.

6. Последний парадокс теории множеств

С точки зрения теории понятий парадокс Рассела ошибочен. Гильберт считал, что парадоксы теории множеств вызваны не законом исключённого третьего. Он писал: «Эти парадоксы происходят скорее потому, что используются недопустимые, бессмысленные образования понятий, которые в моей теории исключаются сами собой». Он предлагал различать «действительные» и «идеальные» предложения классической математики. Первые имеют содержательный смысл, а вторые не обязаны иметь содержательный смысл. Мы присоединяем идеальные предложения к действительным, чтобы простые правила логики были применимы и к рассуждениям о бесконечных множествах. Это существенно упрощает структуру всей теории. Будущее своей науки Гильберт видел в оптимистических тонах, глубоко веря, что математика счастливо избежит распада на многочисленные, не связанные между собой ветви. Он был глубоко убежден, что в математике не существует неразрешимых проблем. Его девизом стало: «Мы должны знать, мы будем знать». Этим высказыванием Гильберт завершил свое знаменитое выступление на Парижском математическом конгрессе в 1900 году и статью — выступление перед коллегами-математиками в 1930 году, в котором он большое внимание уделил проблемам формализации и применения мышления, не утратившим своего значения и поныне.

Гильберт занимался логическим обоснованием математики, математической логикой [2]. Одним из наиболее замечательных достижений математической логики явилась разработка понятия общерекурсивной функции (1934) и формулировка тезиса Чёрча (1936), утверждающего, что понятие рекурсивной функции является уточнением интуитивного понятия алгоритма. По существу, вся математика связана с теми или иными алгоритмами. Но только после уточнения и формализации понятия алгоритма появилась возможность обсуждать алгоритмическую неразрешимость задач в математике. Оказалось, что алгоритмически неразрешимые проблемы связаны с очень распространёнными и фундаментальными понятиями математики.

Гильберт не в противоречие с Кантом считал, что идеальные виртуальные сущности должны быть достаточно осмысленными и определёнными, даже если это есть аксиомы. Рассмотрим определение множества Кантора. Множество — это не совсем то, что совокупность, хотя они и представлены одними и теми же элементами. Кантор их различает. Теория понятий считает, что схема определения понятия множества есть правило КС-грамматики.

Если Рассел хочет рассматривать множества, то определяющая совокупность элементов должна в соответствии с определением множества содержать хорошо различимые элементы, но Рассел не предлагает способа различения совокупностей, т.е. множеств, образованных, например, одними и теми же по составу наборами элементов — множеств. Таким образом, при рассмотрении в упомянутом парадоксе множества таких совокупностей оно оказывается не определённым.

Теория категорий [5], пропагандируемая некоторыми математиками, наряду со множествами идентификаторов, точнее, наряду с совокупностями произвольных идентификаторов, рассматривает различные подсовокукпности этих идентификаторов, которые она считает и называет классами, что не меняет положения дел. В теории категорий канторовские множества также не используются.

Теория понятий практически не очень отличается от теории категорий. Некоторое, но достаточно принципиальное отличие заключается в том, что в теории категорий так называемые классы объектов постулируются в аксиоматических множествах, а в теории понятий классы являются тоже множествами. Определение понятия множества допускает существование различных множеств, определяемых одной совокупностью элементов. Различные алгоритмы единения это обеспечивают.

Классы в этом случае считаются семантикой рассматриваемых совокупностей. В теории понятий в развитие теории категорий наряду с морфизмами возможны обратные морфизмы. В отличие от принципа двойственности теории категорий, это не обращение стрелок, а суммирование прямых и обратных стрелок. Это операция суммирования морфизмов. Наивная теория множеств допускает такую операцию. В теории категорий не имеется термина для представления результата этой операции.

Таким образом, теория понятий не находит в парадоксе Рассела ничего парадоксального.

Несмотря на всю тривиальность определения множества наивной теории множеств, оно определяет даже очень нетривиальные для понимания и использования сущности. Имеющиеся аксиоматики теории множеств не признают отличие совокупности элементов от множеств этих же элементов.

Первой же аксиомой всех предлагаемых аксиоматических определений множеств является следующая аксиома: «Два множества U и V равны тогда и только тогда, когда имеют одни и те же элементы». Но множества, состоящие из одних и тех же элементов, могут различаться, например, их упорядоченностью. В наивной теории множеств Кантора упорядоченность элементов может учитываться.

Кроме того, Кантор отличает множество элементов от совокупности этих же элементов, они находятся в некотором вновь определяемом отношении. Это отношение представляется самим определением множества. Как следствие определения множества Кантор полагает, что две совокупности элементов не равны, но скорее изоморфны, если они определяют одно множество. Поэтому не исключено, что: «Две совокупности {Mi} и {Mk}, имеющие одни и те же элементы, могут отличаться», но при этом быть изоморфными. «Если нечто не исключено, то оно возможно». Утверждение «две совокупности U и V, имеющие одни и те же элементы, не равны, но изоморфны» — есть семантический вариант теоремы Кантора — Бернштейна — Шрёдера. Для конечных совокупностей.

Теорема Кантора — Бернштейна — Шрёдера утверждает и доказывает, что для бесконечных множеств отношения взаимно однозначного соответствия возможны. Несмотря на то, что Кантор является автором, одним из авторов этой теоремы, теорема сформулирована и доказана с недостаточным акцентом на бесконечность рассматриваемых множеств. Для конечных множеств в теории множеств такого утверждения, естественно, нет. Некоторые математики используют отношения взаимно однозначного соответствия для конечных множеств, что приводит к семантическим некорректностям. Для конечных множеств взаимно однозначные отношения не всегда семантически корректны. Теория семантических понятий строит, определяет семантические отношения, семантически корректные отношения для конечных множеств. Эти семантические отношения обоснованы средствами самой теории множеств.

В теории множеств Кантор не использует ни аксиом, ни даже постулатов. Для построения теории множеств Кантору было достаточно определения понятия множества. Определение множества не является ни аксиомой, ни постулатом. Оно является семантическим определением. В теории понятий также нет определений аксиом и постулатов, что не исключает возможности их использования, буде такие сущности будут определены; они могут быть использованы в качестве элементов определяющих сущностей в одном ряду с прочими предметами созерцания и предметами мышления.

Ценность теории множеств теория понятий усматривает не в том, что появился термин «бесконечность», а в том, что Кантор предложил метод использования различных (не исключая и аксиоматических) теорий.

Определение понятия множества — это результат мышления Кантора. Предлагая определение понятия множества, Кантор на самом деле предлагает, точнее, предполагает новую, несколько иную логику мышления, иную технологию мышления. Иную (безаксиоматическую) логику. В логике Аристотеля не рассматривается возможность рассмотрения неких других сущностей, кроме предметов созерцания. Поэтому в логике Аристотеля нет определений. Кантор наряду с предметами созерцания предлагает рассматривать некие новые определяемые сущности. В качестве таких сущностей Кантор предлагает использовать предметы мышления. В теории множеств по необходимости нужно более осознанно относиться к определяемым сущностям. Так, если в логике Аристотеля существование некоторой сущности обосновывается тем, что она является предметом созерцания, то в логике Кантора предметы мышления могут создаваться и использоваться мыслителем наряду с естественными предметами созерцания. Предмет мышления отличить от предмета созерцания не очень просто. Гарантированно это может осуществить лишь автор предмета мышления.

7. Усиление парадокса Рассела

В определении множества упомянуто единение элементов, но не представлен алгоритм единения. Это сделано очень осознанно, ибо как только мы допустим универсальный и неизменный механизм единения (хотя бы даже посредством алгоритмов, аксиом или постулатов), они (это единение и этот механизм единения) становятся не нужными. Ибо вместо результата единения всегда возможно и достаточно использования совокупностей элементов в качестве аргумента этого универсального метода единения. Очень похоже, что именно по этой причине аксиоматическая теория множеств и не использует единение элементов, в каком бы виде это ни осуществлялось. Это уже не кризис теории множеств, это кризис оснований математики, это кризис всей математики: как аксиоматической математики, так и алгоритмической математики. Это даже не парадокс, а скорее тупик. Кантор избегает этой проблемы в теории множеств путём непредложения алгоритма единения элементов. А это уже алгоритмический парадокс: не алгоритм решает проблему, а его отсутствие. Это хуже, чем логический парадокс. Это тупик. В семантической диалектической математике никакого тупика нет. Допуская неалгоритмичность мышления, теория понятий использует мышление для единения элементов совокупностей. Мышление не алгоритмично, но это не значит, что мышление никак не может быть использовано и представлено. Мышление в классической аксиоматической математике не используется и даже не упоминается. Усиление парадокса Рассела обосновывает необходимость мышления в математике. Более того, именно наличие этого тупика и является благодатью для математики. Математики — они хитрые, поскольку мышление есть очень тягостный труд, они придумали нотацию актов мышления. Имея нотацию решения некоторой проблемы, можно в последующем не утруждаться решением аналогичных проблем, достаточно подставить в эту нотацию требуемые новые аргументы и нажать на кнопку «пуск» и получить решение требуемой проблемы. Это семантический алгоритм. В этом заключается основная ценность прикладной математики. Подстановка других аргументных значений возможна для сущностей с той же семантикой.

Кроме того, отсутствие этого алгоритма можно считать постановкой задачи мышлению по его нахождению.

Теория понятий полагает (не постулирует, а полагает), что если мыслитель смог осознанно осуществить единение элементов рассматриваемой совокупности, то он, наверное, будет в состоянии описать этот процесс. Что не исключает использования алгоритмов для этой цели. А если он это сделает хотя бы на Паскале, то вообще будет прекрасно.

Если допускать, предполагать возможность использования различных схем единения элементов совокупностей, используемых в схеме мышления, предлагаемой Кантором, то одна и та же совокупность сможет определять различные множества и различные совокупности могут определять одно множество.

И волки целы и овцы сыты.

По сути, Кантор предложил формализацию мышления, что позволяет определять и использовать различные схемы мышления. В теории понятий ALEPH рассматриваются различные, но определённые типы мышления. Формализация мышления позволяет формулировать семантически корректные проблемы с растущей алгоритмической полнотой NP => P.

Теория семантических понятий использует отличие множеств от совокупностей и применяет его (это отличие) для определения семантики и диалектических типов данных в семантическом, алгоритмическом метаязыке ALEPH.

Так, в частности, теория понятий предлагает к использованию рекурсивные схемы мышления {Mk}: {Mi}. Если «мыслитель» очень скрупулёзный, то могут быть использованы индексы типа Real. Рекурсивные понятия {Mk}: {Mi} имеет смысл использовать, пока «мыслитель» различает получаемые сущности {Mk}.

Кантор, предлагая предметы созерцания пополнять предметами мышления, единит материализм и идеализм. И даже единит диалектический материализм и диалектический идеализм.

К сожалению, основная идея определения понятия множества остаётся непонятой, неосмысленной и невостребованной математиками до сих пор.

Самая серьезная и непоправимая, фатальная ошибка, которую совершают математики — пользователи теории множеств, — заключается в том, что идентификатор множества считается идентификатором, названием рассматриваемой совокупности элементов. Эту ошибку провоцирует и терминология определения множества, точнее то, что и множество, и совокупность определяются одними и теми же элементами. Но для называния совокупности элементов никакого их единения не требуется. Кантор считает, что используемый в определении множества идентификатор является идентификатором, названием некой новой определяемой сущности, которая образуется и появляется в результате единения элементов определяющей множество совокупности. В действительности эта новая сущность может быть как новым элементом рассматриваемой совокупности, так и новой версией некоторого уже имеющегося в совокупности элемента.

Ещё одна не менее серьёзная ошибка заключается в том, что при использовании определения множества зачастую вместо предметов созерцания (по Кантору) используются названия этих предметов. Ошибка состоит в том, что название представляет собой некий произвольный идентификатор, который может никак не представлять суть, семантику обозначаемой сущности. При таком использовании названий теряется суть, семантика используемых сущностей реального мира. И теория множеств превращается в не очень содержательную игру в бессмысленные идентификаторы. Теория понятий предполагает, что используемые идентификаторы предельно полно представляют называемую сущность, т.е. её семантику.

Основная идея определения понятия множества заключается в том, что Кантор обратил внимание на то, что определённые предметы созерцания, собранные тем или иным образом воедино, образуют тот или иной новый предмет. Так, к примеру, если рассматриваемыми элементами являются кирпичи, то складывая их тем или иным образом, можно строить дома, коттеджи, магазины, или даже печи, или ещё много чего. Не исключено, что из кирпичей можно построить даже дворец. Далее эти построенные сооружения в качестве элементов последующих определений можно в свою очередь объединять в посёлки, города и т. д.

В развитие теории множеств теория понятий рассматривает не только предметы мышления и предметы созерцания, но и предметы, которые одновременно являются как предметами мышления, так (и/или) созерцания. И не определяется ничем больше. Таким предметом является, в частности, семантическое определение.

Множество считается и является семантическим, если определяющая совокупность имеет подсовокупности или надсовокупности с той же семантикой. Семантика в теории семантических понятий — это результат осмысленного единения элементов рассматриваемой совокупности, и совершенно неважно, кто это единение осуществляет. Существенно, чтобы оно было осуществлено. Семантика предмета созерцания в теории понятий — это свойство этого предмета, определяемое как вариант некоторой совокупностью обнаруженных свойств этого предмета. Определяющая множество совокупность элементов может быть пополнена или не пополнена элементом, определяемым рассматриваемым определением — диалектическое мышление.

Что есть осмысленное единение и даже что есть осмысленное, семантически корректное мышление, определено далее в разделе «Определение определения».

«Под семантическим «множеством» мы понимаем соединение в некое целое m_i определённых, хорошо различимых предметов m_i нашего созерцания или нашего мышления (которые будут считаться и являться определяющими «элементами» сущности m_i). И эта сущность m_i представляет совокупность {m_i}» с учётом её возможного изменения описанным этим определением способом, т.е. совокупность {mi} в процессе единения может быть изменена выше оговоренным способом. В любом случае к новой совокупности может быть применено единение по Кантору.

В семантическом множестве, в отличие от множеств Кантора, элементами семантического множества могут быть не только предметы созерцания или предметы мышления, но и некие виртуальные предметы, которые являются как предметом мышления, так и предметом созерцания, равно как и недоопределённые сущности. Такие элементы могут быть множествами Кантора. Примером недоопределённой (но доопределяемой) сущности является алгоритмический метаязык ALEPH.

Кантор допускает к рассмотрению произвольные совокупности предметов созерцания или предметов мышления.

Теория семантических понятий предлагает пополнять или изменять рассматриваемые совокупности определённым выше способом.

Теория семантических понятий считает допустимым сущность, определяемую семантическим определением, использовать для пополнения рассматриваемой, используемой совокупности. Это технология диалектического мышления. Mj: {Mi}.

Что есть осмысленное единение и даже что есть осмысленное, семантически корректное мышление, определено далее в разделе «Определение определения». Семантика предметов мышления в многомерных базах данных представляется в виде OLAP-куба (обобщения непроцедурного языка SQL). Использование семантических понятий и теорий может оказаться полезным для обоснования существования семантического OLAP-куба.

Теория понятий не могла не обратить внимание на то, что мышление у различных людей может быть различным, а также и на то, что мышление конкретного человека может меняться со временем и, кроме того, существуют различные типы мышления. Диалектическое мышление, по Кантору, решает эти проблемы.

В логике Аристотеля рассматриваются только предметы созерцания. Аристотель сформулировал законы мышления. Кантор предложил предметы созерцания пополнять предметами мышления. Логика Аристотеля для совокупностей предметов созерцания, включающих предметы мышления, не работает. Требуется разработка и использование другой логики. Диалектика мышления ведёт к диалектике логики.

8. Семантическая диалектическая логика

В Логике Аристотеля до Кантора третьего не было дано. Кантор предложил предметы созерцания пополнять предметами мышления. Кантор предложил определения. Возникающих сущностей у Аристотеля не было, поэтому требуется новая логика, учитывающая появление, возникновение таких сущностей.

У Аристотеля определений нет. В аксиоматиках определений тоже нет. У Кантора и в теории понятий определения имеются. В теории понятий имеется даже определение определения. Определение определяет то, что оно определяет. Так, если некий мыслитель предложит, к примеру, определение четырёхугольного треугольника, ни одна теория познания не сможет установить истинность или ложность такого определения. У теории понятий имеются утверждения — семантические определения, истинность или ложность которых не определена. Определения быть бессмысленными могут, а ложными быть не могут.

Кантор обратил внимание на то, что предметы созерцания, собранные тем или иным образом воедино, образуют некий новый предмет. Теория понятий обратила внимание на то, что единение виртуальных сущностей может быть осуществлено посредством мышления. Предмет, возникающий в результате осмысления, является некой новой виртуальной сущностью, семантикой осмысливаемой сущности. И в некоторой степени семантикой процесса мышления. Некоторые трудности использования предложенного Кантором метода единения сущностей возникают, когда требуется рассмотрение одного предмета созерцания. Но эта трудность преодолима, если рассматриваемый предмет созерцания имеет свойства или состоит из некоторых частей. Свойства предмета созерцания, равно как и составные части в теории понятий, неотличимы от прочих предметов созерцания или предметов мышления. Если считать, что свойства и составные части также являются предметами созерцания или предметами мышления, то проблема осмысления единого предмета созерцания решается, если мыслитель их каким-то способом различает. Здесь нет логического противоречия, ибо идентичность или неидентичность виртуальных сущностей, то есть семантик, может установить только естественный интеллект, точнее только автор семантических определений. В теории понятий установления идентичности семантик не требуется. Теории понятий достаточно установления отношений больше-меньше, что упрощает использование понятий. Сравнение семантик проще, чем доказательство идентичности.

Осмыслению могут подвергаться не только предметы созерцания, но и предметы мышления, и даже действия, и даже само осмысление. Действие, обладающее семантикой, считается алгоритмом.

Кантор также предложил не только использование единения, но предложил и представление, нотацию акта единения. Таким образом, определение понятия множества является и предметом мышления, и предметом созерцания.

Теория понятий считает, что акт мышления имеет место, если представлена нотация этого акта. Теория понятий считает представление нотации акта мышления доказательством осуществления этого акта.

Кантор использует определение понятия множества в различных областях естествознания [4] и вводит в употребление понятие типа данных.

Теория понятий использует нотацию акта мышления в качестве средства представления типов данных в алгоритмическом метаязыке ALEPH. Алгоритмический метаязык ALEPH является развитием алгоритмического метаязыка АЛМЕТ [7]. Алгоритмический метаязык ALEPH это некая система понятий в логике Кантора. На языке ALEPH могут быть представлены не только алгоритмы решения проблем, но и процесс их вывода, процесс формализации проблем. Для семантических метаалгоритмов нет проблемы NP-полноты, нет алгоритмически неразрешимых проблем. И вообще, в теории понятий используются только семантически определённые сущности. Теория понятий использует более осмысленные отношения, чем аксиоматические, математические отношения. Теория понятий — это скорее метаматематика, прикладная математика.

Акт мышления, представляемый нотацией акта мышления, может быть повторен и использован как самим автором мышления, так и любым пользователем и даже машиной.

Морфизм (он же и семантическое понятие, и семантическое определение, и акт мышления, и математическое отображение, отношение) представляет семантическое отношение более сильное, чем алгоритм в том смысле, что он работает в обе стороны: и туда и обратно Arg ↔ Res. Для представления морфизмов могут быть использованы контекстно-свободные грамматики Хомского. Система программирования ALEPH это алгоритмически совершенствующийся формальный язык программирования с возможностью самоприменения алгоритмов.

Теория понятий обратила внимание на то, что определение множества способно представлять все мыслимые отношения совокупностей любых элементов и даже больше. Даже и сами отношения. Математические отношения представлять семантические отношения не могут. Теория понятий считает это достаточным основанием, чтобы отказаться от использования аксиоматических, математических отношений.

Больше того, теория понятий считает, что естественный язык наиболее адекватно представляет реальный мир, слова естественного языка в процессе тысячелетнего совершенствования наиболее адекватно представляют семантику обозначаемых ими предметов и действий, и на этом основании обходится без использования примитивного искусственного языка математической логики.

9. Определение семантических определений

Канторовское единение допускает единение не только различных предметов, но и различных действий.

Теория семантических понятий предлагает к использованию в теориях семантические определения и предлагает определение такого определения. Определение семантического определения представляет собой использование определения понятия множества Кантора, элементами определяющей совокупности которого являются понятия осмысления и понятие понимания. Такое специфическое использование определения понятия множества позволяет получить, построить определение определения семантического понятия. Схема мышления, по Кантору, позволяет это делать. Что обеспечивает построение семантических определений и семантических алгоритмов.

Достоверно известно, что определение множества является предметом мышления. Даже известно, что оно является предметом мышления Кантора, точнее диалектического мышления Кантора. На этом основании, если определение множества воспринимать, понимать, толковать мыслить как единую сущность, то на основании указанного определения она может определять некую новую сущность — семантическое определение. Кантор не указал, кто и как осуществляет единение элементов, теория понятий считает, что кто соберёт некую совокупность элементов и осуществит их единение, тому и принадлежит авторство построенного понятия. Теория понятий считает, что автор семантического определения знает алгоритм единения элементов рассматриваемой совокупности (ибо иначе единение невозможно), более того, если автор понятия сочтёт, что определяемая сущность может быть добавлена в рассматриваемую совокупность в качестве элемента этой совокупности, то он может это осуществить. В этом случае имеет место {{Mj}: {Mi}}.

Единение отношений {(U <=V) & (U=> V)} образует семантическое определение. (U:V): {(U <=V) & (U=> V)}. Определяемое и представляемое схемой (U:V): {(U <=V) & (U => V)}.

Определение {(U <=V)} теория понятий считает осмысленным, корректным, семантически правильным, если имеет место схема (U:V): {(U <=V) & (U=> V)}. Семантическое определение таких сущностей, как полтора землекопа, или три с четвертью треугольника, или даже квадрат скорости, оказывается невозможным. И в то же время некоторые сущности (как, например, эллипс, парабола, плоскость, число Пи, вещественные числа) могут обладать различными определениями. Наличие нескольких определений одной сущности обеспечивает конкуренцию определений. Диалектика определений. Смею утверждать, что все окружности определяют одно число Пи с точностью до последнего знака в любой системе счисления, и никакое иное определение этого числа невозможно. Семантическое определение представляет единение двух различных (и даже противоположных действий: осмысление и понимание, толкование семантики), которое образует некую новую сущность (U:V), которую при желании (по Г. Кантору) можно, допустимо считать семантикой и называть неким идентификатором, термином, например семантическим определением. Если определяемая сущность U не отличается от определяющей сущности V, то осмысление не имеет смысла в том смысле, что построение сущности U не требуется. Можно с тем же успехом обходиться сущностью V. Таким образом, семантическое определение (U:V) совмещает в себе и представляет как осмысление сущности V, так и толкование, интерпретацию семантики U. Семантическое определение в соответствии с его определением по Кантору может быть исполнено: либо как (U <=V), либо как (U=> V). Семантическое определение в свою очередь может обладать семантикой W: {U:V}, если сущности U&V различны. Совокупность семантических определений образует семантический алгоритм, который, естественно, тоже может быть исполнен.

10. Алгебра понятий. Семантические операции

В теории понятий бесконечных множеств нет, есть только счётные и трансфинитные (алгоритмически вычислимые) множества. Работать с такими множествами можно по технологии сходящихся последовательностей Коши.

Существенным элементом теории понятий является алгебра понятий. Ибо даже в матлогике преобразование понятий иногда подменяется подменой понятий.

Теория понятий допускает использование различных формальных операций единения различных семантических понятий. Результатом единения предметов является предмет. Результатом единения действий является отношение, семантическое определение. Алгебра понятий представлена алгоритмическим мета языком ALEPH.

GOOGLE определяет понятие алгебры как: «Отдел математики, изучающий свойства величин (выраженных буквами), независимо от числового их значения».

Теория понятий предлагает и использует другое определение: «Метаалгебра это раздел теории понятий, изучающий и использующий понятие множества Кантора».

Для метаалгебры теории понятий оказываются существенными морфизмы.

GOOGLE определяет морфизм как: «МОРФИЗМ категории — термин, используемый для обозначения элементов произвольной категории, играющих роль отображений множеств друг в друга». Теория понятий не разделяет эту точку зрения, поскольку в теории категорий канторовские множества не рассматриваются. Теория понятий предлагает и использует другое определение: «Морфизм это отображение элементов множеств Кантора».

GOOGLE определяет изоморфизм как: «Изоморфи́зм (от др.-греч. ἴσος — «равный, одинаковый, подобный» и μορφή — «форма») — это очень общее понятие, которое определяется по-разному в различных разделах математики. Изоморфизм определяется для множеств, наделённых некоторой структурой (например, для групп, колец, линейных пространств и т.п.)». Теория понятий считает, что множество изоморфно совокупности элементов, определяющих множество».

«Гру́ппа в математике — множество, на котором определена ассоциативная бинарная операция, причём для этой операции имеется нейтральный элемент (аналог единицы для умножения), и каждый элемент множества имеет обратный. Ветвь общей алгебры, занимающаяся группами, называется теорией групп». GOOGLE (Группа).

В теории понятий рассматриваются множества в определении Кантора. Поэтому поскольку определять ассоциативные бинарные операции, да ещё с нейтральным элементом, который к тому же является аналогом единицы для умножения для предметов созерцания, используемым в определениях множества Кантора, несколько затруднительно, то теория понятий использует определение множества как есть, как определено Кантором. Ассоциативные бинарные операции появляются в результате семантических определений, определяемых в теории понятий. Естественно, что операции, определяемые в теории групп, могут несколько отличаться от операций теории понятий. Так, к примеру, нейтральным элементом, аналогичным единице операции умножения теории групп, в теории понятий является так называемое натуральное число e. В интуитивной математике определяется несколько так называемых GOOGLE (нейтральных элементов операций) для различных областей интуитивной математики. В теории понятий предлагается и используется единый нейтральный элемент для чисел в определении Кантора для некой операции, являющейся суперпозицией операций сложения и умножения. Это натуральное число Эйлера e. Нейтральный элемент в теории понятий это неизменный элемент суперпозиции бинарных операций сложения и умножения. И, как следствие, относительно операций интегрирования и дифференцирования.

11. Семантические отображения. Технология мышления

В математике используется понятие отображения, определяемое как GOOGLE (отображение).

Пусть X и Y — два произвольных множества.

Определение. Соответствие, при котором каждому из элементов множества X сопоставляется единственный элемент из множества Y, называется отображением. Отображения из множества X в множество Y обозначается как: X→Y.

В теории понятий определяется и используется несколько иное, семантически корректное понятие отображения. Прежде всего заметим, что отображение в математике определено не для множеств Кантора, а для некоторых произвольных никак не определённых совокупностей элементов. В теории понятий вместо взаимно однозначных соответствий совокупностей произвольных идентификаторов определяются и используются взаимоопределяемые отношения множеств Кантора {{Uj}: {Vi}}. Отношение {Множество: совокупность} — пример взаимоопределяемого отношения. Ещё одним примером взаимоопределяемого отношения является правило, определяющее результат произведение двух сумм:

(a+b) x (c+d) Ξ (axc + axd + bxc + bxd)

Примером взаимоопределяющих функций могут служить экспоненциальная и логарифмическая функции. Точка (e, e) является центром симметрии этих функций. Семантика центра симметрии заключается в том, что он обеспечивает взаимно однозначное соответствие элементов двух бесконечных множеств, которое упомянуто в теореме Кантора — Бернштейна — Шрёдера множества точек отрезка (0 — e) и отрезка (e — 0).

Взаимоопределяющие отношения очень важны для математики.

Может оказаться, что некая совокупность элементов {Vi} имеет по мнению пользователя теории множеств ту же семантику, что и некая подсовокупность или даже надсовокупность рассматриваемой совокупности, и наоборот: исходная совокупность при повторном осмыслении имеет некую иную семантику. Представляется, что различать сущности проще, чем их отождествлять. Эта ситуация может быть представлена семантическим отношением {Uj}: {Vi} — это отношение представляет некую совокупность семантических понятий. Это семантическое отображение может быть использовано вместо отображений совокупностей идентификаторов, рассматриваемых в аксиоматической математике.

Использование семантических отношений предпочтительнее, поскольку все понятия, используемые в семантическом отображении подсовокупности имеют семантику, и совокупности семантик могут быть использованы в качестве исходных совокупностей последующих определений. Использование семантических отображений вместо математических отображений определяет метаматематическую теорию. Можно отметить, что если считать количество элементов совокупностей простейшей семантикой рассматриваемых совокупностей, то такие теории образуют различные позиционные системы счисления. В аксиоматических системах различные системы счисления не могут быть даже пропостулированы.

Можно заметить, что традиционная математика не является формальной теорией хотя бы потому, что в математике не имеется формального определения формальной теории.

12. Прикладная математика

ПАРАДОКС: «Формальная аксиоматическая математика слишком примитивна для её практического использования». Определение понятия множества, кроме всего прочего, определяет прагматику прикладной математики. Прикладная математика есть формализация аксиоматической.

Современная математика изобилует очень истинными, совершенно ненужными, бесполезными сущностями. Это семантический мусор. И в то же время многие семантически существенные сущности остаются семантически не определёнными. Многие сущности в математике определяются семантически некорректно.

В математике нет семантики. Доканторовская математика никакого отношения к реальному МИРУ не имеет. Эта математика — бессмысленная игра в символы.

Проблемы использования числовых данных в математике начались при переходе от рассмотрения количеств штучных предметов к другим семантическим сущностям. Математика традиционно использовалась для измерения различных сущностей. Потребовалось измерять расстояния, массы, площади, объёмы, скорости, энергию и т. д. Кроме того, возникали и другие семантические проблемы. Не математические, а семантические наряду с математическими. Наряду с количественными характеристиками стали существенными и другие семантические характеристики. Хорошо, что Кантор побеспокоился, подстраховался заблаговременно и предложил использование определяемой интегральной метрики. Теория семантических понятий считает эту метрику семантикой.

Расстояние, пройденное путником за 7 дней при прохождении по 6 км в день — это совсем не то, что площадь участка размером 6 на 7 метров. Хотя в математике, в арифметике результат получается выполнением одной той же операции умножения чисел. Возникает большая путаница. Различать и преобразовывать сантиметры в дюймы или километры в морские мили люди научились довольно быстро. А вот квадратные метры и линейные метры и в аксиоматической математике, и в алгоритмических языках не различаются до сих пор. В физике научились использовать размерности величин.

Г. Кантор, занимаясь философией математики, пришёл к мысли, что предметы созерцания могут быть пополнены предметами мышления, и предложил схему диалектического мышления. И не потому, что предметов созерцания было ему недостаточно, а потому, что среди предметов созерцания не оказалось семантических, виртуальных сущностей.

Килограммометр — единица измерения механической работы силой в один килограмм на расстоянии одного метра. В теории понятий эта единица представляется семантическим произведением единицы силы на единицу длины. Посредством этой единицы можно измерять любую механическую работу. Аналогично тому, как квадратным метром можно измерять площади. Естественным образом можно преобразовывать различные единицы измерения. И даже понятно, что эти две единицы измерения семантически различны. В языке ALEPH это различные типы величин. Единица работы ≠ единице площади. Они, естественно не взаимозаменимы (1≠1).

Одной из первых работ Г. Кантора по философии математики была заметка, в которой он критиковал определение числа, которое Фреге предложил в работе основания арифметики [6]. Г. Кантор предложил задействовать в основаниях математики мышление и предложил предметы созерцания пополнять предметами мышления. Теория понятий считает, что математика в тот же момент превратилась в информатику, в естественнонаучную дисциплину.

При расширении сферы применения математики в ней возникают различные новые проблемы: в первую очередь семантические. Так, для подсчёта баранов было достаточно целых чисел, для измерения длин отрезков уже требуются действительные числа, для измерения площадей требуется новая единица измерения, для измерения параметров механического движения требуется определение неких новых подходящих единиц измерения и т. д. В математике для развития математики требуются определения. Г. Кантор обеспечил формальное определение определения. Определения обеспечивает дальнейшее развитие семантической математики её собственными средствами. Все сущности, а в особенности прагматические, используемые в математике, могут быть определены семантическими определениями теории понятий. Многие аксиоматические понятия математики могут быть исправлены с помощью семантических определений. Так, бытовое представление о пространстве, предлагаемое в «Началах» Эвклида, может быть использовано в семантических определениях.

Семантические аспекты данных весьма существенны для оснований математики. Так, отрицательные числа получили признание в математике лишь тогда, когда появилась их семантическая интерпретация (не минусик перед числом). В аксиоматических основаниях математики отрицательных чисел не имеется до сих пор. Теория понятий руководствуется концепцией, что брошенный камень летит не по траектории, придуманной математиками, а наоборот, математике удалось найти и представить траекторию летящего по инерции камня. Так, в частности, для представления этой траектории не требуется трёхмерного пространства, достаточно двумерного. Это экспериментально проверяемый факт. Использование этой концепции превращает теорию понятий в естественнонаучную теорию. Камень летит не по параболе, а по инерции.

Функции. В математике широко используется понятие функции.

Функция y=f (x) (по определению функция, по Лейбницу, показывает зависимость величины y от величины x. В реальном мире зависимостей величины от нескольких величин, равно как и обратных зависимостей, нет. В метаязыке ALEPH имеются процедуры от нескольких параметров).

Вопрос: является ли выражение y=13 определением функции? Математика определённого ответа не даёт. Это может быть как определением константы, так и определением функции. Математика эти определения не различает. Теория понятий различает.

Ещё вопрос: что показывает функция y=f (x). Зависимость какой величины от какой величины в соответствии с определением функции. По определению функции, она тоже показывает зависимость величины y от величины x. Вопрос: как всё-таки величина y зависит от величины x на самом деле. Теория понятий считает, что функция f (x) показывает зависимость от x семантически иной величины z, а не y.

Ещё вопрос: может ли некая величина сама от себя x=f (x) зависеть?

К сожалению, семантический аспект данных не поддерживается в математике даже на уровне элементарной арифметики. Так, в арифметике допустимо сложение, например, метров с квадратными метрами, возможно умножение квадратных метров — допустим, квадрат скорости, возможны квадратные килограммы и т. д. И, как следствие, эта семантическая некорректность продолжается и в алгоритмических языках.

12.1 Семантическая арифметика

В быту метры с квадратными метрами не складываются, а квадратные килограммы вообще трудно вообразить. Теория понятий считает, что складываться могут только величины с одной семантикой. Произведение величин с различными семантиками вырабатывает величину с новой семантикой, произведением семантик.

Для семантических величин в языке ALEPH могут быть заданы их естественные характеристики, например диапазон допустимых значений. Или допустимых операций.

Если юзер не знает, что есть семантика, то он не сможет и не будет её использовать.

Числа асемантичны.

Гильберт в работе по основаниям математики [2] указывал, что парадоксы теории множеств, например, имеют семантическую природу. Он писал: «Эти парадоксы происходят скорее потому, что используются недопустимые, бессмысленные образования понятий, которые в моей теории исключаются сами собой». В основаниях математики, предложенной Гильбертом, он предлагал в развитие логики Аристотеля, логическое основание математики. Аристотель, несмотря на парадокс Эпименида (парадокс лжеца, в котором он поднимет проблему адекватности определений), начал создание технологии формального мышления (искусственного интеллекта) и предложил несколько правил формального мышления. Людям не всегда удаётся скрупулёзно их исполнить по очень многим как объективным, так и субъективным причинам, иногда по недомыслию, а иногда и по корыстным причинам. Математическая логика пытается по мере своих сил исправить положение. Но даже и в самой математической логике имеются ошибки. Так, Гёдель, например, доказывает неполноту неких формальных систем в том смысле, что в этих системах имеются утверждения, которые не могут быть ни доказаны, ни опровергнуты, что очень понятно и очень естественно. Это означает, что аксиоматическая математика нуждается в совершенствовании. Теория понятий использует для этого семантические определения. Семантические определения не могут быть ни доказаны, ни опровергнуты. Семантические определения это как раз то, в чём Гёдель усматривал неполноту аксиоматических систем.

Семантический мусор в математике — это ещё полбеды. Гораздо страшнее то, что этот мусор пытаются узаконить и выдать за научное достижение. Так, теория категорий предлагает на совокупностях элементов, которые могут находиться в различных, порой очень существенных и содержательных отношениях, рассматривать некие классы элементов, то есть рассматривать те же совокупности и подсовокупности элементов, но с утраченными, проигнорированными отношениями. Точнее, возможность единения элементов постулируется для любых совокупностей и подсовокупностей элементов. Теория категорий такую возможность не обеспечивает, но постулирует. И эта теория многими математиками представляется как GOOGLE (теория категорий). Здесь необходимо заметить, что существование всевозможных отношений между элементами совокупностей возможны в теории множеств Кантора, ибо Кантор допускает использование в качестве элементов совокупностей не только предметов мышления, но и предметов созерцания. Теория категорий тем самым утверждает, что любую, в том числе весьма существенную информацию, можно в математике не принимать во внимание, просто игнорировать. Теория понятий не против такой математики, но только она считает, что смысла в такой математике не больше, чем в любой игре по выдуманным правилам. Тривиальным примером такой игры может служить так называемая теория нормальных алгорифмов GOOGLE (теория нормальных алгорифмов).

Примером семантически некорректного и скорее даже бессмысленного определения является теория нормальных алгорифмов. В этой теории в определении алгорифма использованы только слова, которые ничего не означают по определению этих слов.

В основу этой теории положено бессмысленное преобразование случайных слов в случайных алфавитах. Для чего могло бы потребоваться преобразование некоторого слова в некоторое другое слово, тем более что слова в теории нормальных алгорифмов ничего не означают, совершенно непонятно. Любое результирующее слово может быть составлено без всяких алгорифмов. Смысла в таких преобразованиях никакого нет. К примеру, в теории нормальных алгорифмов возможны не только логические парадоксы, но семантические казусы. Так, рассмотрим нормальный алгорифм:

нормальный алгорифм → ● семантический алгоритм;

применение этого нормального алгорифма к себе выдаёт в качестве результата семантический алгоритм, что не соответствует действительности, ибо построение семантического алгоритма несколько отличается от процесса, представленного этим нормальным алгорифмом. Нормальные алгорифмы — это игрушка для детского садика.

И вообще, если некоторое действие (алгоритм) не имеет смысла, то его нет смысла и выполнять.

Не лишена семантических некорректностей и математическая логика. Наибольшие нарекания вызывает закон исключённого третьего. Известный парадокс лжеца (парадокс Эпименида) доказывает, что логика, использующая закон исключённого третьего, внутренне противоречива. Эпименид утверждал, что он лжец. Но одно дело утверждать и совсем другое дело быть.

Теория понятий в семантической логике вместо постулата исключённого третьего использует семантические определения.

Семантическая некорректность имеется и в определении понятия функции. Понятие функции — это ключевое для математики понятие. Определение функции в 1692 году предложил математик, логик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц. Это очень простое, понятное, содержательное определение: функция представляет зависимость одной реальной величины от другой. Принципиальным моментом этого определения является то, что функция представляет зависимость величин. Нет зависимости — нет и функции. Экспериментально проверяемое определение. Лейбниц зависимость одной реальной величины от двух реальных величин не рассматривает. Время в теории понятий считается независимой реальной величиной. Можно привести много примеров различных зависимостей. Пройденный путь зависит, в частности, от времени, которое путник был в пути. Пройденный путь зависит также от скорости движения. Таким образом, имеются две различные функции, которые вырабатывают одно и то же значение. Всё по-бытовому очень просто и понятно. И нет никаких вопросов и проблем, В 1837 году немецкий математик Дирихле иначе сформулировал иное определение понятия функции: «y есть функция переменной x (на отрезке a £ x £ b), если каждому значению x на этом отрезке соответствует совершенно определенное значение y, причем безразлично, каким образом установлено это соответствие — аналитической формулой, графиком, таблицей либо даже просто словами». Таким образом, суть определения функции по Лейбницу была искажена. Это нечто иное, это не функция Лейбница. У Дирихле зависимость не требуется. Дирихле не объясняет, почему ему помешало наличие зависимости величин. Это очень различные определения функции. Так, Дирихле допускает к рассмотрению не непрерывные зависимости, которых на практике вряд ли удастся наблюдать. Так, у Лейбница дни недели и цвета радуги функционально не связаны, что очень понятно и естественно. Не всякая функция Дирихле является функцией Лейбница. Это два семантически различных определения, несмотря на то что графики этих зависимостей могут совпадать.

Рассмотрим такой практический пример: альпинист по некоторой горной тропе поднимается на Эверест и каждый час измеряет и записывает значение атмосферного давления. По возвращении в альпинистский лагерь он рисует график этой функции: по одной оси он откладывает значения атмосферного давления, по другой оси откладывает время, когда он производил замеры давления. По завершении этого занятия он заявляет, что атмосферное давление является функцией времени, что очевидно неправильно. Неучтённой осталась высота подъёма над уровнем земли. Для правильной интерпретации полученных результатов требуется мышление. Дирихле в этом деле не помощник. Так, функция по Лейбницу и функция по Дирихле семантически различны в том смысле, что они функции от семантически различных аргументов, хотя в остальном они полностью идентичны. Теория понятий использует функции Лейбница.

В математической логике используются так называемые булевские функции. Булевская функция не является функцией ни в смысле определения функции по Лейбницу ни в смысле определения функции Дирихле.

Непрерывность весьма существенная характеристика функций. Так, непрерывные функции дифференцируемы и интегрируемы. В математике имеется несколько не эквивалентных определений непрерывных функций. Теория понятий использует одно из них. Формализм (Ɛ, δ).

Комментарий: в отличие от определения предела функции по Коши в определении непрерывности функции в теории понятий требуется, чтобы условие непрерывности имело место для всех значений аргумента функции, т.е. чтобы функция имела один единый двусторонний предел при каждом значении аргумента.

Разрывные функции в теории понятий, естественно, не рассматриваются, поскольку в быту разрывные функции не встречаются.

И даже если реальная функция действительно имела бы разрыв, то совершенно непонятно, на каком основании этот разрыв можно было бы устранять.

А вот некоторые искусственные функции могут иметь «разрывы». Если вдруг потребуется рассматривать такую функцию, теория понятий предлагает рассматривать две непрерывных функции: одну до точки разрыва, а другую после точки разрыва.

Ещё одним примером семантической некорректности можно считать использование множеств Кантора некоторыми математиками. Кантор определил множество как результат единения элементов совокупностей элементов. Рассел в определении множества не обратил внимания на глаголы «единить» и «представлять» в определении понятия множества и предложил считать термины «множество» и «совокупность» синонимами. Это привело к так называемому парадоксу Рассела. В определении множества Кантор их различает.

Числа в определении Кантора и числа Даламбера также семантически различны. А уж про псевдоевклидово пространство и говорить не приходится: игра в символы в неприкрытом виде, которая к реальному миру не имеет никакого отношения.

Теория понятий предлагает к использованию семантическую математику, основанную на семантических определениях.

Даже семантическая арифметика очень нетривиальна. Так, сложение в семантической арифметике считается возможным только для данных, имеющих одну семантику. А вот результат сложения в семантической математике может иметь различную семантику в зависимости, например, от порядка сложения: результат сложения A+B может по семантике отличаться от сложения B+A.

Операция умножения вообще является в большей степени сугубо семантической операцией. Так, умножение метра на метр имеет результатом квадратный метр. Умножение массы на скорость имеет результатом импульс силы: решение этой проблемы даёт оператор GOOGLE (Что есть результат умножения массы на скорость?).

13. Алгебра функций

Наряду с функциями в теории понятий рассматриваются и операции. Операции функциями не являются.

Определение операции: операции определяются над функционально независимыми величинами. Величины u&v считаются функционально независимыми, если нет ни u=F (v), ни v=G (u).

Операция произведения двух функционально независимых функций:

Если имеются функции w=F (u), & w=G (v), то не исключена операция

W=FxG (w), такая что w=W (u*v). Это функциональная процедура. Это семантический изоморфизм.

С определением понятия функции тесно связана операция интегрирования функций. При определении интеграла функции используется операция умножения величин. В теории понятий умножение — это не операция над числами, а процедура над величинами. Это очень существенный, нетривиальный момент. Так, умножение скорости на время — получается в механике путь. По Ньютону, умножение массы на ускорение определяет силу. В зависимости от семантики сомножителей получаются семантически различные интегралы. В теории понятий интегрирование определяется не для произведений значений данных, а для интегральной суперпозиции функций. Семантика определения произведения величин f&Δx. Это произведение значения функции на значение её аргумента — нетривиальная операция, даже скорее семантически не очень понятная процедура.

14. Семантические интегралы

Для семантически корректного определения операций интегрирования и дифференцирования функций необходимо использование семантической арифметики. Функция y = f (x) семантически интегрируема, если x&y ортогональные семантические величины.

15. Заключение

Закон диалектического развития, предложенный Кантором, работает от сотворения мира и по настоящее время.

ДИАЛЕКТИКА. Теперь, когда некоторые понятия теории понятий определены, можно несколько продвинуться в понимании теории множеств Кантора. Определение множества представляет, в частности, определение определения. Определение множества удовлетворяет собственному определению понятия множества. Возможны ситуации, когда одна и та же совокупность элементов определяет различные множества (например, если при единении элементы будут иметь различные веса, что не только не противоречит требованию определения множества, чтобы элементы были хорошо различимы). А, наоборот, взвешенность элементов даже улучшает различимость элементов.

15.1 Blockchain теория

Провозвестником блокчейна следует считать математика-философа Георга Кантора. В начале XX века прошлого тысячелетия Г. Кантор пришел к выводу, что интуитивная, аксиоматическая математика, которой он занимается, требует логического обоснования, требует формализации. Требуется основание математики, и Кантор занялся философией математики, проблематикой мышления в математике. В соответствии с диалектическим законом единства и борьбы противоположностей интуитивная математика распалась на два множества: аксиоматическую математику, основанную на формализации, которая абстрагируется от семантики естественного языка, и противоположное множество различных прикладных дисциплин, основанных на использовании этой самой семантики. В результате появилась математическая философия (онтология, информатика) аналогично возникновению других математических наук: математической физики, математической логики и т.д., что лишний раз подтверждает, что математика является царицей всех наук. К слову, можно заметить, что саму философию в свое время предложил математик Пифагор. Философия математики предполагает построение семантической теории «языка» математики для изучения смысла математических высказываний и сущностей абстрактных объектов. Теория понятий считает, что в прикладной математике естественный язык наилучшим образом представляет реальный мир.

Ещё одним из вопросов философии математики является вопрос о собственной (онтологической) возможности выделения оснований математики. Первый в истории философии ответ на данный вопрос дал Платон в диалоге «Парменид» в форме тезиса «теория соотношения единого и многого образует мир». Этот тезис почти дословно представляет определение множества Кантора.

15.2. Аксиоматическая теория алгоритмов

Для использования аксиоматической (по Кантору) семантической, прикладной математики мышления не требуется. Что и ценно. Мышление необходимо только для создания и совершенствования математики. Теория понятий считает, что суть, смысл, семантика развития заключается в создании, поиске, обнаружении некой новой сущности, представляющей некоторые уже имеющиеся сущности. Некоторым таким сущностям доступно саморазвитие, самосовершенствование.

Такой сущностью являются, в частности, алгоритмы.

Абстрактная, аксиоматическая математика слишком примитивна для практического использования.

В абстрактной, аксиоматической математике не определяются, но постулируются функции от многих переменных. Кантор, занимаясь философией математики, обратил внимание на то, что в реальности отдельные переменные в свою очередь могут находиться в функциональных зависимостях, и в качестве обобщения понятия функции многих переменных предложил схему, в которой эти зависимости могут быть учтены.

Именно Кантор, работая над философией математики, предложил понятие типа данных. В рассуждениях Кантора о типах данных достаточно определённо предсказывается диалектика типов вплоть до предсказания типа данных, называемого в современной терминологии блокчейном. Диалектическая теория множеств в современной терминологии является (а не называется!) блокчейном.

15.3. Blockchains

В метаязыке ALEPH, в системе программирования, технологии программирования ALEPH в качестве типов данных используются идентификаторы, представляющие совокупности предметов созерцания и предметов мышления. На алгоритмическом метаязыке ALEPH пользователь при построении канторовской совокупности элементов может использовать любые определённые сущности. Теория понятий считает, что теория понятий представляет технологию совершенствования всего, не исключая и себя. Теория понятий считает, что искусство мышления заключается в отыскании совокупностей элементов (сущностей) {mi} таких, что одна из них представляет все остальные. Это суть (семантика) диалектики. Теория понятий утверждает, что если выбранные с «умом» сущности или даже понятия (и/или) теории единить с «умом», то в результате может получиться сущность или даже понятие (и/или) теория, представляющая единенные элементы. Выбор и единение сущностей с «умом» в теории понятий означает, что пользователю выбирать следует такие сущности, которые ему известно, как единить. Если единение осуществляется посредством мышления, то понятие вполне может считаться сущностью. Совокупность понятий считается в теории понятий теорией. Такие теории представимы блокчейном, диалектическим типом данных. Теория понятий считает определение понятия множества актом мышления Георга Кантора. Нотация этого акта может быть представлена схемой M: {mi}. Эта схема допускает рекурсивное использование определяемой сущности M в качестве элементов определяющей совокупности элементов в последующих определениях. Совокупность таких схем есть блокчейн. Кантор использовал блокчейны для представления различных типов чисел в математике. Использование блокчейнов в иных дисциплинах Кантор предоставляет специалистам в этих дисциплинах. Одной из таких дисциплин является теория семантических понятий. Теория понятий предлагает и использует блокчейн для представления типов данных в языках программирования. Еще одним интересным применением блокчейна можно считать его использование в финансовой сфере. Семантическая математика добралась и до этой сферы. Посредством блокчейна определяются новые типы валют, представляющих совокупности как реальных неформальных валют, так и самих вновь определяемых виртуальных валют.

15.4. Metasoft

Метаязыки представляют некую новую технологию диалектического программирования, предполагающую использование процедурно-функционального, диалектического типа данных. Метаязык ALEPH основан на несколько усовершенствованном алгоритмическом языке Паскаль. Суть (семантика) совершенствования заключается в дополнении языка Паскаль новым функционально-процедурным, семантическим типом SEMANT. Инициальное значение переменной этого типа не определяется. Система METASOFT ALEPH предназначена не для программирования, а для его совершенствования, это технология совершенствования программирования. Семантика диалектична!

Теория понятий считает, что современная абстрактная математика — это игра в неопределённые аксиомы по неопределенным, выдуманным правилам. В теории понятий не определяется,