Оглавление

Предисловие

В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с ситуациями, когда нам необходимо рассадить гостей за столом, составить букеты из имеющихся цветов, подсчитать количество выигрышных билетов в лотерее и т. д. Но задумывались ли вы, сколькими вариантами мы можем это сделать? На этот вопрос помогает ответить комбинаторика — раздел математики, изучающий задачи выбора и расположения элементов из некоторого множества в соответствии с заданными правилами.

Формулы и методы комбинаторики широко используются в теории вероятностей для подсчета вероятности случайных событий.

Комбинаторика как самостоятельная наука появилась в XVIII веке. Рождение комбинаторики связано с трудами Блеза Паскаля и Пьера Ферма по теории азартных игр. Большой вклад в развитие комбинаторики методов внесли Готфрид Вильгельм Лейбниц, Яков Бернулли, Леонард Эйлер и другие выдающиеся ученые.

Перестановки

Однажды в выходной день Маша решила навести порядок в своих игрушках и рассадить в ряд медвежонка, куклу и львёнка.

Вначале она рассадила их так:

Но ей не понравилось, что медвежонок сидит рядом со львёнком. Тогда Маша пересадила игрушки следующим образом:

Но и тут Маша не смогла определиться, кто должен сидеть справа от куклы — львёнок или медвежонок?

Так бы Маша и продолжала бы переставлять игрушки с места на место, если бы в комнату не вошел Машин папа.

— Ты чем это занимаешься? — поинтересовался он у Маши.

— Да вот, — грустно вздохнула Маша, — пытаюсь расставить игрушки, но у меня что-то не получается. Столько много разных вариантов, а мне ни один не нравится.

— Допустим, — не согласился папа, — что вариантов не так уж и много. У тебя три игрушки, значит, вариантов всего шесть.

— Как ты так быстро посчитал? — удивилась Маша.

— Есть такая наука, — пояснил папа, — комбинаторика. Она и занимается подсчетом различных вариантов перестановок. Допустим у тебя всего две игрушки — медвежонок и кукла. Их можно переставить только двумя способами: