автордың кітабын онлайн тегін оқу Математика рынка. Обслуживание случайных потоков
Александр Берлин

Кітап туралы Дәйексөздер1 Қазір оқып жатыр349 Сөрелерде Тегін фрагмент

Александр Берлин

Математика рынка

Обслуживание случайных потоков

Шрифты предоставлены компанией «ПараТайп»

В книге предлагается новый подход к расчету экономических процессов. Такой подход позволяет получить очень интересные данные: определить универсальную математическую характеристику товара, представить математическую модель рынка; показано, что расчеты параметров рынка можно проводить по формулам теории массового обслуживания, в частности по формулам Эрланга, Энгсета и др; определить формулы, отражающие зависимость между спросом и предложением, а также величиной непроданных товаров.

12+

ISBN 978-5-4485-2545-2

Создано в интеллектуальной издательской системе Ridero

Математика рынка
Список обозначений
Введение
Глава 1. Относительное потребление. Единица измерения величины предложения и спроса
1. 1.1.Так что же такое товар?
2. 1.2.Относительное потребление
3. 1.3. Факторы, влияющие на относительное потребление
4. 1.3.1.Максимальное потребление
5. 1.3.2. Реальное потребление (спрос)
6. 1.3.3 Зависимость величины относительного потребления от цены
7. 1.3.4. Типы поставок (предложения)
8. 1.4. Числовые характеристики потоков предложений
9. 1.4.1.Интенсивность предложения товаров
10. 1.5. Спрос и его колебания
11. 1.5.1. Основные определения. Время наибольшего спроса
12. 1.5.2. Основные параметры и расчет интенсивности спроса
13. 1.5.3. Среднее число заявок от одного потребителя в единицу времени
14. 1.5.4.Средняя длительность потребления t’
15. 1.5.5. Характеристика качества обслуживания предложений товаров
16. 1.5.6. Пропускная способность рынка
17. 1.6.Контрольные вопросы к Главе 1
Глава 2. Математическая модель рынка
1. 2.2. Типы систем обслуживания товаров и входных потоков
2. 2.2.1. Типы систем обслуживания товаров
3. 2.2.2. Типы входных потоков
4. 2.2.3. Принципы классификации потоков событий
5. 2.2.4 Основные числовые характеристики потоков товаров
6. 2.2.5.Простейший поток товаров и его свойства
7. 2.2.6. Математическое ожидание и дисперсия простейшего потока вызовов
8. 2.2.7.Закон распределения промежутков между заявками на товар
9. 2.2.8.Длительность потребления. освобождение
10. 2.3. Классификация не простейших потоков
11. 2.3.1.Потоки с последействием
12. 2.3.1.1. Поток с простым последействием
13. 2.3.1.2. Поток с повторными поставками
14. 2.3.1.3.Поток с ограниченным последействием
15. 2.4. Контрольные вопросы к главе 2
Глава 3. Рынок как система с явными потерями
1. 3.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
2. 3.2. Дифференциальные уравнения Эрланга
3. 3.3. Стационарный режим. Распределение Эрланга
4. 3.4. Потери в полнодоступной группе при обслуживании простейшего потока товаров
5. 3.5. Средняя пропускная способность группы потребителей полнодоступного рынка
6. 3.6. Графические зависимости между параметрами первой формулы Эрланга
7. 3.7. Пример. Расчет рынка нефти
8. 3.7. Задачи
9. 3.8.. Контрольные вопросы к Главе.1
Глава 4. Рынок как система с ожиданием
1. 4.1.Модель рынка при системе с ожиданием. Вывод второй формулы Эрланга
2. 4.2. Вероятность состояний системы
3. 4.3. Вероятность того, что время хранения будет больше t.
4. 4.4. Среднее время ожидания для партий товаров, поступающих на рынок
5. 4.5. Среднее время ожидания реализации для сохраняемых товаров
6. 4.6. Вероятность очереди (вероятность наличия в очереди хотя бы одной партии товаров)
7. 4.7. Средняя длина очереди или среднее число задержанных партий товаров
8. 4.8. Пример. Расчет рынка нефти с сохранением непроданного товара
9. 4.9 Задача
10. 4.10.Контрольные вопросы к главе 4
Глава 5. Обслуживание полнодоступной группы потребителей группой с ограниченным числом партий товаров (формула Энгсета)
1. 5.1. Постановка задачи
2. 5.2. Вывод формулы Энгсета
3. 5.3. Типы потерь при обслуживании потока от ограниченного числа источников
4. 5.4.Задачи
5. 5.5. Контрольные вопросы
6. Глоссарий
Приложение 1
Список литературы

Список обозначений

A- относительное (удельное) потребление. Предложенная нагрузка

a — интенсивность нагрузки, поступающей от одного источника

поступивших заявок

— обслуженных заявок

— потерянных заявок

— средняя длина очереди или среднее число задержанных партий товаров

среднее число заявок от одного потребителя в единицу времени

от одной группы индивидуальных потребителей

— среднее число заявок от одного потребителя в единицу времени

от — посредников (например, агентства по покупке и продаже квартир)

E_i, _v (A) =E_i (A) — вероятность того, что в произвольный момент

времени стационарного режима в полнодоступной группе ёмкостью v

потребителей, на которую поступает интенсивность партий товаров A, создаваемая простейшим потоком товаров, занято i потребителей

E_{1, v} (A).- табличные числовые значения для первой формулы Эрланга E_{2, v} (A).- табличные числовые значения для второй формулы Эрланга

р (γ> 0) — вероятность того, что время ожидания больше нуля — то есть вероятность очереди

p _задер. (γ> t) — вероятность ожидания задержанного товара

свыше времени t

p (R> r) — вероятность того, что длина очереди превышает заданную величину r

P_макс-максимальное потребление

P_реал— реальное потребление.

— потери по числу поступивших заявок на поставку товара

— потери по объему товара

P _t— потери по времени реализации

— средняя длительность потребления.

— средняя длина очереди

поступившего товара

— обслуженного товара

— потерянного товара

A _обсл. (t₁, t ₂) = — обслуженное предложение.

a_0б (t₁, t₂) — обслуженный рынком спрос за промежуток времени (t₁, t₂) Yпост. (t₁,t₂) — поступающее предложение товаров за промежуток времени (t₁, t₂)

a_пост. (t₁, t₂) — поступающий на рынок спрос за промежуток времени

(t₁, t₂)

a_потер. (t₁, t₂) — потерянный рынком спрос в течение промежутка времени (t₁, t₂)

a_внс. величина нагрузки за время наибольшей нагрузки (ВНС);

a_набл— величина нагрузки за время наблюдения

α- параметр примитивного потока группы партий в свободном состоянии (формула Энгсета).

β — параметр показательного закона распределения длительности потребления.

η- пропускная способность групп потребителей

γ — текущее время ожидания

— среднее время ожидания по отношению ко всем поступившим вызовам

_з среднее время ожидания по отношению только к задержанным вызовам

λ _{s (t)} параметр симметричного потока.

ω ₀ (z) — вероятность отсутствия товаров на промежутке времени длиной z (Поток Пальма).

Введение

Прежде чем начать составлять и преобразовывать формулы. Я хотел бы задать вопрос читателю.

Я хочу продать что-то новое или старое, красивое или безобразное — бриллианты, навоз, идеи, отремонтировать ваш дом. Почему я не могу сосчитать, сколько я смогу продать этого товара в течение месяца дня, года?

Почему возникают кризисы перепроизводства? И при этом, почему столько оптимистов или пессимистов говорят, что всё наладится или рухнет. И я скорее не доверяю им, чем доверяю. Развелось столько пророков в сети Интернет и в газетах. А как прекрасно, если бы все это можно было бы сосчитать рынок. Например, как в механике.

Представьте Вы хотите проехать из Санкт Петербурга в Москву (расстояние 600 км). Вы вспоминаете формулу равномерного движения, рассчитываете, что если вы будете ехать непрерывно и равномерно со скоростью 60 км в час, то это займёт 10 часов.

Давайте будем честными. Вы никогда не будете ехать равномерно и непрерывно. На одном участке Вы будете «лететь», а на другом ехать и никуда не спешить. Вы сделаете на втором часу перерыв в езде. Кроме того, получив этот результат, Вы полетите самолётом. А может, не тронетесь никуда. Так что математика не может за Вас принять решение.

Вывод отсюда парадоксальный, что экономика — это политика. А математика может только сказать, что будет при принятых Вами решениях.

Можно также сказать, что экономика — это психология. Например, известен «очевидный» экономический закон, который широко используется для анализа экономических процессов- это паника при ухудшении каких-то показтелей рынка

Математика не даёт прогнозов. Она только отвечает на Ваши вопросы, что будет в заданных вами обстоятельствах. Один из великих инвесторов 21—22 века Уоррен Баффет, говорил: «Я не делаю прогнозы, я даю оценки. Оценка не то, что прогноз». [3.3., стр.21, стр.23].

Теперь вопрос! Нельзя ли разработать такие математические методы, которые также как в механике говорили, что будет в заданных обстоятельствах. И если эти обстоятельства возникли можно рассчитать своё поведение и поведение среды.

К какой области математики они должны принадлежать?

Очевидно, что к теории вероятностей.

Труды, которые рассматривают основные вопросы экономики (спрос, предложения, цены и прочее), в основном применяют методы детерминированной математики [Альфред Маршалл, Кейнс[1]].

Экономика широко пользуется методами теории массового обслуживания. Например, для расчета числа кассовых аппаратов, очередей и т. п. При этом наиболее часто используется название «теория очередей».

В этой книге мы покажем, что применение теории случайных потоков к основным процессам на рынке — предложению и потреблению товаров, получению доходов позволяет ответить на большинство вопросов, которые возникают сегодня на практике.

Такой подход позволяет получить очень интересные результаты.

Перечислим эти результаты:

определена универсальная математическая характеристика товара — относительное потребление и потери (доля непроданных товаров);

представлена математическая модель рынка;

на основе этой модели, показано, что расчеты параметров рынка можно проводить по формулам теории массового обслуживания в частности по формулам Эрланга, Энгсета и др;

согласно формуле Эрланга показана зависимость между спросом и предложением, а также величиной потерь (величиной не проданных товаров);

расчеты по формуле Эрланга показывают, что основное влияние на спрос оказывает предложение (величина поставки), при росте предложения увеличиваются потери (доля непроданных товаров), поэтому наращивания предложения становится нецелесообразным. И как следствие, в зависимости от себестоимости падают доходы;

цена товара влияет на спрос только на начальном этапе, а далее на этапе насыщенного рынка, она играет роль, фактора конкурентной борьбы.

Результаты позволяют:

— проводить оценку перспектив различных бизнесов,

— оценивать величину устанавливаемой цены,

— определять возможные моменты кризисов и их периодичность (циклы Кондратьева) [3.7].

В заключение надо сказать, что в книге за основу изложения приняты результаты, полученные моим учителем Борисом Самойловичем Лившицем [2.1] и недавно скончавшимся его лучшим учеником Яковом Владимировичем Фидлиным. [2.2].

Их книга Лившиц Б. С., Фидлин Я. В., Харкевич А. Д. Теория телеграфных и телефонных сообщений. М.: Связь, 1971. до сих пор образец по содержанию и строгости и четкости математических доказательств.

Очень большие трудности вызывал у автора вопрос как подробно приводить математические доказательства. Как показал опыт — математические аспекты теории обслуживания случайных потоков известны далеко не всем. Поэтому в книгу включены сведения, позволяющие читателю получить необходимые сведения, не тратя массу времени на обращения к первоисточникам. Для корректности в книге есть много ссылок к первоисточникам.

Для тех, кто активно заинтересуется вопросам применения теории обслуживания случайных потоков, в приложении приведены отдельно книги по теории массового облуживания на русском и английском языке.

Список литературы составлен по разделам:

Теория вероятностей.

Теория массового обслуживания

Экономика

.Справочные материалы из Интернета

[1] Кейнс был специалистом по теории вероятностей и написал диссертацию по этому вопросу, но в его основных работах такие методы отсутствуют

Глава 1. Относительное потребление. Единица измерения величины предложения и спроса

1.1.Так что же такое товар?

Начнем с цитаты Кейнса [3.1]

«Трудности, которые больше всего мешали мне при написании этой книги, и я не мог четко сформулировать свои мысли;

«во-первых, выбор единиц измерения, пригодных для исследования экономической системы в целом; …..»

Далее Кейнс пишет;

«Тот факт, что единицы измерения, которыми обычно

пользуются экономисты, неудовлетворительны, можно проиллюстрировать на следующем примере:

Концепции национального дохода, запаса реального капитала и обще совокупный объем, производимых обществом товаров и услуг представляет собой разнородный комплекс, который, строго говоря, не может быть измерен, за исключением некоторых специальных случаев, когда, например, все элементы одного набора производимых товаров и услуг содержатся в той же пропорции в другом наборе товаров и услуг этого уровня цен.»

В результате Кейнс выбрал в качестве единиц измерения деньги:

«Поэтому, рассматривая теорию занятости, я буду пользоваться только значением совокупных объемов: выраженной в деньгах суммой ценностей».

Для того чтобы дать свое определение единицы измерения товара мы используем очевидное утверждение.

Товар на рынке — это, то, что хотят продать и это то, что хотят купить. Попробуем выразить это в числах.

Обратимся к своему опыту.

Вы любите пирожные? Я Вам их продам. Вы их купите и захотите еще. Я буду продавать все больше и больше. Наконец вы начнёте съедать 10 пирожных в день. А я вам предлагаю еще. Вы говорите: «Хватит!»

Я предлагаю Вам бесплатно по 12 пирожных в день, а Вы неблагодарно твердите «Нет!». Более того, закупив пирожные, Вы еще некоторое время их потребляете, и при этом не покупаете новых.

Что это такое? Это перепроизводство!

Повторим вопрос: Сколько вы можете съесть в день пирожных 10, 12, 15?

Это для математики неважно, но в принципе есть какое-то максимальное количество товара, которое Вы можете потребить в определенный период (в сутки, в месяц в год).

пробуем найти индикатор. Назовём его относительное потребление.- P _отн

Если потребитель уже не способен покупать товар (насыщение) P _отн=1,

Если потребитель только начинает покупать товар P _отн=0.

Потому текущее состояние потребителя можно отразить значением относительного потребления

0 ≤ P _отн ≤ 1

Продолжим поиск математического определения относительного потребления.

Введем единицу (обозначим её a), которая нам позволит измерять спрос и предложение «относительный потребление».

Это отношение реального потребления P_реал к максимально возможному P_макс.

P_отн.= P_реал./ P_max.=a

Если с помощью этой единицы мы будем измерять спрос и предложение товара, одним потребителем или одной группой потребителей, то мы будем называть этот показатель — УДЕЛЬНЫМ ОТНОСИТЕЛЬНЫМ ПОТРЕБЛЕНИЕМ.

Если рассматриваться группа из n потребителей (групп потребителей), то применяется название ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОТРЕБЛЕНИЕ.

Оно будет равно

A=an

Будем считать, что никакие материальные (количество денег, цены) и внешние факторы (сезон, мода) Вас не ограничивают. Тогда максимальное потребление в заданный период будет равно P_max..

Реальное и максимальное потребление выражаются в единицах данного товара (штуках, пакетах, денежны [единицах).

Поскольку относительное потребление этого отношение, где числитель изнамениатель выраженв олинаоквых единицах, то оно безрамерная величина.

1.2.Относительное потребление

Относительное потребление показывает возможности участия данного средства в потреблении (аналог удельной нагрузки в теории массового обслуживания). Оно указывает насколько потребитель готов к покупке товара. Если a=1, то потребитель в данный период не будет покупать товар, другие значения говорят, насколько удовлетворены запросы этого потребителя.

Например, из сайта на Интернете можно узнать, что Скандинавы потребляют по 8 литров мол

...